[논문 리뷰] Multigrid algorithms for $hp$-version Interior Penalty Discontinuous Galerkin methods on polygonal and polyhedral meshes

Paola F. Antonietti, Paul Houston외 3명|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 02.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 32인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 다각형 및 다면체 메esh에서 $hp$-버전 대칭 내부 페널티 비연속 갈레르킨(IPDG) 방법에 대한 이중 수준 및 W-사이클 다중 격자 솔버를 개발하고 분석한다. 이 방법은 임의의 모양을 가진 요소에서 직접 거친 격자를 구성하기 위해 기하적 응집을 사용하며, 충분한 스무딩 단계를 사용할 경우 메쉬 크기, 다항식 차수 $p$, 수준 수에 대해 균일 수렴을 보장한다. 수치 결과는 고정된 스무딩 단계로도 실용적인 수렴이 가능하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we analyze the convergence properties of two-level and W-cycle multigrid solvers for the numerical solution of the linear system of equations arising from hp-version symmetric interior penalty discontinuous Galerkin discretizations of second-order elliptic partial differential equations on polygonal/polyhedral meshes. We prove that the two-level method converges uniformly with respect to the granularity of the grid and the polynomial approximation degree p, provided that the number of smoothing steps, which depends on p, is chosen sufficiently large. An analogous result is obtained for the W-cycle multigrid algorithm, which is proved to be uniformly convergent with respect to the mesh size, the polynomial approximation degree, and the number of levels, provided the number of smoothing steps is chosen sufficiently large. Numerical experiments are presented which underpin the theoretical predictions; moreover, the proposed theoretical assumptions are not fully satisfied.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 다각형 및 다면체 메쉬에서 $hp$-버전 내부 페널티 비연속 갈레르킨 방법에 대한 효율적인 반복적 솔버를 개발하기 위해.
• 메쉬 세분화와 다항식 차수의 변화에 따라 이중 수준 및 W-사이클 다중 격자 알고리즘의 수렴 행동을 분석하기 위해.
• 충분한 스무딩 단계 수가 확보될 경우, 메쉬 크기, 다항식 차수 $p$, 수준 수에 대해 균일 수렴이 달성될 수 있음을 보여주기 위해.
• 복잡한 메쉬에서의 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증하기 위해.
• 이론적 스무딩 요구 조건이 완화되어도 실용적인 수렴이 달성될 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 다중 격자 솔버는 원래의 다각형/다면체 메쉬에서 직접 거친 격자 수준을 생성하기 위해 기하적 응집을 사용하며, DG 방법의 유연성을 유지한다.
• 거친 격자 연산자는 미세 격자 이산 문제에서 대수적으로 정의되며, 일치하는 유한요소 공간이 필요로 하지 않는다.
• 스무딩자는 $m$개의 전처리 및 후처리 스무딩 단계를 사용하는 리치어드 포지션 스무딩기를 사용하며, $m$은 다항식 차수 $p$에 따라 달라진다.
• 이중 수준 방법은 에너지 노름 추정과 보간 연산자를 사용하여 분석되며, 응집체의 약한 형태 정규성 조건 하에서 균일 수렴을 증명한다.
• W-사이클 알고리즘은 $m$이 충분히 크면 메쉬 크기, $p$, 수준 수에 대해 균일 수렴함을 증명한다.
• 응집 전략으로는 최대 독립 집합, 최대 가중치 매칭, 근시적 집합 방법이 포함되며, 모두 행렬의 구조에 기반한 대수적 방법으로 적용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 수준 다중 격자 솔버는 다각형/다면체 메쉬에서 $hp$-IPDG에 대해 메쉬 크기와 다항식 차수 $p$에 대해 균일 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 충분한 스무딩 단계가 확보될 경우, 수준 수가 증가할 때 W-사이클 다중 격자 방법이 여전히 균일 수렴을 유지하는가?
• RQ3 고차수 DG 이산화에서 대수적 응집 기반 다중 격자 방법의 성능은 기하적 응집과 어떻게 비교되는가?
• RQ4 이론적으로 다항식 차수 $p$에 따라 증가하는 스무딩 단계 요구 조건을 실무에서는 완화해도 수렴을 잃지 않고 유지할 수 있는가?
• RQ5 기하적 정보는 고차수 DG 문제에 대한 응집 기반 다중 격자 솔버의 수렴에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 스무딩 단계 수가 충분히 크면 이중 수준 다중 격자 솔버는 메쉬 크기와 다항식 차수 $p$에 대해 균일 수렴한다.
• 스무딩 단계 수가 충분히 크면 W-사이클 다중 격자 알고리즘이 메쉬 크기, $p$, 수준 수에 대해 균일 수렴한다.
• 수치 실험 결과는 스무딩 단계 수를 $p$에 관계없이 고정해도 실용적으로 수렴이 달성됨을 확인한다. 다만 $p$가 증가할수록 수렴 속도는 악화된다.
• 대수적 응집 방법(최대 독립 집합, 최대 가중치 매칭, 근시적 집합)은 $p \geq 1$일 경우 5000회 이내에 수렴하지 못하며, 고차수 DG 문제에 대해 비효율적임을 나타낸다.
• 모든 테스트된 $p$ 값과 응집 전략에서 수렴 인자 $\rho$는 1에 매우 가까운 편이었다(예: $\rho \approx 0.9986$에서 $0.9992$까지), 이는 대수적 응집을 사용할 경우 수렴이 매우 열악함을 확인한다.
• 결과는 고차수 DG 문제의 경우 응집 과정에 기하적 정보를 통합하거나, 더 고급 스무딩기(예: 샤워츠 유형)가 필요하다는 것을 시사한다.