[论文解读] Multilevel distillation of magic states for quantum computing

Cody Jones|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于H码族的多层级魔态蒸馏方法——这类H码是具有跨跃Hadamard门的串联CSS码，可通过消耗低保真度的魔态来实现高保真度的纯化。该方法实现了渐近资源效率，仅需 $2^r + 1$ 个输入态即可生成保真度为 $O( au^{2^r})$ 的输出态，接近理论最优边界，并在保真度低于 $10^{-7}$ 时优于以往的协议。

ABSTRACT

We develop a procedure for distilling magic states used in universal quantum computing that requires substantially fewer initial resources than prior schemes. Our distillation circuit is based on a family of concatenated quantum codes that possess a transversal Hadamard operation, enabling each of these codes to distill the eigenstate of the Hadamard operator. A crucial result of this design is that low-fidelity magic states can be consumed to purify other high-fidelity magic states to even higher fidelity, which we call "multilevel distillation." When distilling in the asymptotic regime of infidelity $ε ightarrow 0$ for each input magic state, the number of input magic states consumed on average to yield an output state with infidelity $O(ε^{2^r})$ approaches $2^r+1$, which comes close to saturating the conjectured bound in [Phys. Rev. A 86, 052329]. We show numerically that there exist multilevel protocols such that the average number of magic states consumed to distill from error rate $ε_{\mathrm{in}} = 0.01$ to $ε_{\mathrm{out}}$ in the range $10^{-5}$ to $10^{-40}$ is about $14\log_{10}(1/ε_{\mathrm{out}}) - 40$; the efficiency of multilevel distillation dominates all other reported protocols when distilling Hadamard magic states from initial infidelity 0.01 to any final infidelity below $10^{-7}$. These methods are an important advance for magic-state distillation circuits in high-performance quantum computing, and they provide insight into the limitations of nearly resource-optimal quantum error correction.

研究动机与目标

• 开发一种更资源高效的魔态蒸馏协议，用于通用容错量子计算。
• 解决现有蒸馏电路资源成本过高的问题，这些电路占用了量子计算机的大部分资源需求。
• 设计一种利用具有跨跃Hadamard操作的串联量子码的蒸馏方案，以实现分层纯化。
• 在从低保真度输入态蒸馏高保真度魔态时，实现接近理论最优的资源扩展性能。

提出的方法

• 提出一族 $[[n, n-4, 2]]$ 的Calderbank-Shor-Steane（CSS）码——称为H码，其逻辑Hadamard操作为跨跃操作。
• 利用串联H码实现多层级蒸馏，将低保真度魔态作为资源用于纯化更高保真度的魔态。
• 采用分层电路结构，其中代码层级的不同层级应用具有不同保真度误差的输入魔态。
• 设计蒸馏协议，通过递归应用纠错操作来降低误差，实现误差的指数级抑制。
• 在多个串联层级上对性能进行数值评估，优化每输出态的平均输入数量。
• 证明该协议在渐近意义上趋近于资源成本的猜想下限，平均消耗量为 $2^r + 1$，对应输出保真度误差为 $O(\tau^{2^r})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种蒸馏协议，通过消耗低保真度魔态来纯化高保真度魔态，从而降低整体资源成本？
• RQ2 在渐近极限下，实现目标输出保真度误差所需的最少输入魔态数量是多少？
• RQ3 蒸馏协议在多大程度上能逼近魔态蒸馏的理论资源成本下限？
• RQ4 具有跨跃Hadamard操作的串联量子码能否支持分层、多层级的纯化策略？
• RQ5 当从初始保真度误差 $0.01$ 蒸馏至最终保真度误差低于 $10^{-40}$ 时，此类协议的性能扩展特性如何？

主要发现

• 多层级蒸馏协议的平均资源成本约为 $14\log_{10}(1/\tau_{\text{out}}) - 40$ 个输入魔态，可使输出保真度误差在 $10^{-5}$ 到 $10^{-40}$ 之间，初始保真度误差为 $\tau_{\text{in}} = 0.01$。
• 当渐近保真度 $\tau \to 0$ 时，该协议仅需 $2^r + 1$ 个输入魔态即可生成保真度误差为 $O(\tau^{2^r})$ 的输出态，接近猜想的理论极限。
• 在保真度低于 $10^{-7}$ 的蒸馏场景中，该协议在效率上全面超越所有先前报告的方案，尤其适用于高精度应用。
• 数值模拟证实，该协议在多个串联层级上均保持高效率，输出保真度误差随层级增加呈指数级下降。
• 该方法显著降低了总资源开销，使高保真度魔态在容错量子计算中更具可及性。
• 使用具有跨跃Hadamard操作的H码，使多层级结构成为可能，从而允许低保真度辅助态提升更高层级编码态的保真度。