[논문 리뷰] Multiple-choice Vector Bin Packing: Arc-flow Formulation with Graph Compression

Filipe Brandão, João Pedro Pedroso|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 13.

Optimization and Packing Problems참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다중선택 벡터 백팩 문제(MVBP)를 해결하기 위해 그래프 압축을 통한 아크-플로우 공식화를 제안한다. 이는 유효한 패턴을 방향성 비순환 그래프에 압축적으로 표현함으로써 정확한 해를 효율적으로 도출할 수 있도록 한다. 기준 테스트 인스턴스에서 평균 해결 시간이 1초 이내로 빠르며, 다양한 크기의 백팩 문제에 대해 뛰어난 성능과 확장성을 보여준다.

ABSTRACT

The vector bin packing problem (VBP) is a generalization of bin packing with multiple constraints. In this problem we are required to pack items, represented by p-dimensional vectors, into as few bins as possible. The multiple-choice vector bin packing (MVBP) is a variant of the VBP in which bins have several types and items have several incarnations. We present an exact method, based on an arc-flow formulation with graph compression, for solving MVBP by simply representing all the patterns in a very compact graph. As a proof of concept we report computational results on a variable-sized bin packing data set.

연구 동기 및 목표

• 항목이 여러 형태를 가지며, 백팩이 다양한 유형으로 존재하고 각각 다른 용량과 비용을 가진 다중선택 벡터 백팩 문제(MVBP)를 해결하는 데 도전한다.
• 모든 패턴을 명시적으로 나열하지 않고도 압축적이고 효과적인 정수계획모형을 개발한다.
• 그래프 압축 기법이 유효한 패턴을 모두 유지하면서도 아크-플로우 공식화의 크기를 줄이는 데 기여하는지를 입증한다.
• 문헌에서 제공하는 대규모 다양한 크기의 백팩 문제 인스턴스에 대해 본 방법의 확장성과 효율성을 입증한다.

제안 방법

• 원천에서 종점으로의 각 경로가 특정 백팩 유형에 대한 유효한 패킹 패턴을 나타내는 방향성 비순환 다중그래프를 구축한다.
• Brandão와 Pedroso(2013)의 알고리즘을 사용해 초기 아크-플로우 그래프를 생성하며, 항목의 다양한 형태를 별개의 실체로 포함시킨다.
• 각 차원에서의 최장경로 거리를 사용해 노드를 재라벨링하는 최종 그래프 압축 단계를 적용하여 중복 노드와 간선을 줄인다.
• 동일한 항목의 다른 형태에 해당하는 평행 간선을 제거하고, 중복을 방지하기 위해 하나의 대표 간선만 유지한다.
• 총 백팩 비용을 최소화하는 혼합정수계획모형(MIP)으로 MVBP를 공식화하며, 유량 변수는 패턴 사용을 나타내고, 항목 수요 및 백팩 용량 제약 조건을 충족하도록 한다.
• 최신 MIP 솔버(Gurobi 5.5.0)를 사용해 최적화를 수행하며, 타당성 및 갭 제어를 위해 특정 파라미터를 조정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프 압축을 통한 아크-플로우 공식화는 다중선택 벡터 백팩 문제를 효과적으로 모델링하고 해결할 수 있는가?
• RQ2 그래프 압축은 유효한 패턴을 모두 유지하면서도 아크-플로우 공식화의 크기를 어떻게 줄이는가?
• RQ3 본 방법은 표준 기준 테스트 인스턴스에서 다양한 크기의 백팩 문제에 대해 어떤 계산 성능을 보이는가?
• RQ4 항목 수와 백팩 유형 수가 증가함에 따라 본 방법은 어느 정도 확장 가능한가?
• RQ5 기존의 접근 방식과 비교해 본 방법은 효율성과 해의 품질 면에서 어떤가?

주요 결과

• 다양한 크기의 백팩 문제에 대한 300개의 기준 테스트 인스턴스 평균 해결 시간은 1초 미만이며, 어떤 인스턴스도 6초를 초과하지 않았다.
• 최종 그래프 압축 단계로 인해 평균적으로 정점 수가 58% 감소하고 간선 수가 40% 감소했다.
• 500개의 항목을 가진 인스턴스에서는 평균적으로 브랜치 앤 바운드 탐색 노드 수가 0.0이었으며, 이는 최적해에 매우 신속하게 수렴함을 의미한다.
• 모든 300개의 인스턴스가 시간 제한 내에 최적해로 해결되었으며, MIP 갭은 0이고 절대 갭 허용 오차는 1e-5로 설정되었다.
• 본 방법은 높은 확장성을 보였으며, 최대 500개의 항목과 5개의 백팩 유형을 가진 대규모 인스턴스에서도 낮은 해결 시간을 유지했다.
• 항목 크기 범위(X=1, X=2, X=3)에 관계없이 일관된 1초 이내의 실행 시간을 기록하며, 성능이 매우 안정하였다.