[논문 리뷰] Multiple recurrence and large intersections for abelian group actions

Ethan Ackelsberg, Vitaly Bergelson외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 08.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 31인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 가산 아벨 군의 측도를 보존하는 작용에 대한 다중 재귀에서 큰 교차의 심지성( syndeticity )을 확립하며, 히친킨의 정리와 푸르스텐베르크의 정리와 같은 고전 결과를 일반화한다. 애매한 군에 대한 푸비니 유사 정리와 에르고딕 이론을 사용하여, 유한 지수의 이미지를 가진 호모모르피즘에 대해, 기대하는 곱 측도에 가까운 교차를 유도하는 군 원소들의 집합이 심지성이 됨을 증명하며, ℤ 및 𝔽ₚ^∞-작용에 대한 이전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the phenomenon of large intersections in the framework of multiple recurrence for measure-preserving actions of countable abelian groups. Among other things, we show: (1) If $G$ is a countable abelian group and $φ, ψ: G o G$ are homomorphisms such that $φ(G)$, $ψ(G)$, and $(ψ- φ)(G)$ have finite index in $G$, then for every ergodic measure-preserving system $(X, \mathcal{B}, μ, (T_g)_{g \in G})$, every set $A \in \mathcal{B}$, and every $\varepsilon > 0$, the set $\{g \in G : μ(A \cap T_{φ(g)}^{-1}A \cap T_{ψ(g)}^{-1}A) > μ(A)^3 - \varepsilon\}$ is syndetic. (2) If $G$ is a countable abelian group and $r,s \in \mathbb{Z}$ are integers such that $rG$, $sG$, and $(r \pm s)G$ have finite index in $G$, then for every ergodic measure-preserving system $(X, \mathcal{B}, μ, (T_g)_{g \in G})$, every set $A \in \mathcal{B}$, and every $\varepsilon > 0$, the set $\{g \in G : μ(A \cap T_{rg}^{-1}A \cap T_{sg}^{-1}A \cap T_{(r+s)g}^{-1}A) > μ(A)^4 - \varepsilon\}$ is syndetic. In particular, these extend and generalize results of Bergelson, Host, and Kra concerning $\mathbb{Z}$-actions and of Bergelson, Tao, and Ziegler concerning $\mathbb{F}_p^{\infty}$-actions. Using an ergodic version of the Furstenberg correspondence principle, we obtain new combinatorial applications. We also discuss numerous examples shedding light on the necessity of the various hypotheses above. Our results lead to a number of interesting questions and conjectures, formulated in the introduction and at the end of the paper.

연구 동기 및 목표

• 가산 아벨 군 작용의 맥락에서 ℤ-작용에 대한 고전적 다중 재귀 결과—히친킨의 정리와 푸르스텐베르크의 정리를 일반화한다.
• 다중 복귀 시간에서 큰 교차를 유도하는 군 원소들의 집합이 심지성이 되는 조건을 확립한다.
• 에르고딕 버전의 푸르스텐베르크 대응 원리를 통해 조합적 응용을 확장한다.
• 호모모르피즘의 이미지에 대한 유한 지수 조건이 필요한 이유를 명시적인 반례를 통해 명확히 한다.
• 특성 인자와 아벨 군 작용에서의 재귀 패턴의 구조에 관한 열린 질문과 추측을 제시한다.

제안 방법

• 에르고딕 버전의 푸르스텐베르크 대응 원리를 사용하여, 측도 이론적 재귀 결과를 조합론적 맥락으로 변환한다.
• 애매한 군에 대한 푸비니 유사 정리(보조정리 13.4)를 적용하여, 곱 공간 위의 균일 코시로 극한을 교환한다.
• 호모모르피즘의 수에 대한 귀납법을 사용하여, 다중 교차의 균일 코시로 극한이 개별 측도의 2^k 승으로 둘레에 있는 하한으로 유계임을 증명한다.
• 코시-슈바르츠 부등식과 에르고딕 정리를 사용하여 재귀 경계의 기저 사례를 확립한다.
• G에서 G로의 호모모르피즘 φ, ψ, 및 (ψ−φ)의 구조를 분석하며, 그 이미지가 G에서 유한 지수여야 심지성이 보장됨을 요구한다.
• 유한 지수 조건이 필수적임을 보여주기 위해 반례를 구성하여, 일반화된 긴 구성이 에르고딕 체계에서 실패함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호모모르피즘 φ, ψ: G → G에 대해 어떤 조건에서, 모든 에르고딕 체계와 양의 측도를 가진 집합 A에 대해 {g ∈ G : μ(A ∩ T_φ(g)^{-1}A ∩ T_ψ(g)^{-1}A) > μ(A)^3 − ε}의 집합이 심지성이 되는가?
• RQ2 rG, sG, 및 (r±s)G가 G에서 유한 지수를 가질 때, 패턴 A ∩ T_{rg}^{-1}A ∩ T_{sg}^{-1}A ∩ T_{(r+s)g}^{-1}A에서의 네 번째 교차에 대해 μ(A)^4 − ε의 경계가 심지성과 함께 달성될 수 있는가?
• RQ3 주어진 호모모르피즘 조건 하에서 k중 교차에 대해 하한 μ(A)^{2^k}의 지수는 최적인가?
• RQ4 호모모르피즘의 이미지에 대한 유한 지수 조건이 큰 교차의 심지성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 유한 지수 조건 이외의 구조적 장애 요소—더 긴 또는 더 복잡한 패턴으로의 큰 교차의 심지성 일반화를 방해하는—가 존재하는가?

주요 결과

• 모든 가산 아벨 군 G에서의 에르고딕 측도를 보존하는 체계에 대해, φ(G), ψ(G), 및 (ψ−φ)(G)가 G에서 유한 지수를 가질 경우, 모든 A ∈ ℬ 및 ε > 0에 대해 {g ∈ G : μ(A ∩ T_φ(g)^{-1}A ∩ T_ψ(g)^{-1}A) > μ(A)^3 − ε}의 집합은 심지성이 된다.
• r, s ∈ ℤ이 rG, sG, 및 (r±s)G가 G에서 유한 지수를 가질 때, {g ∈ G : μ(A ∩ T_{rg}^{-1}A ∩ T_{sg}^{-1}A ∩ T_{(r+s)g}^{-1}A) > μ(A)^4 − ε}의 집합은 심지성이 된다.
• μ(A)^{2^k}의 경계는 모든 에르고딕 체계에서 균일하게 향상될 수 없으므로 최적임이 반례를 통해 입증된다.
• 호모모르피즘의 이미지에 대한 유한 지수 조건은 필수적이다; 이를 만족하지 않으면 큰 교차의 심지성이 실패하며, 논문에서 제시된 구성으로 이를 입증한다.
• 결과는 이전의 ℤ-작용(BHKr05) 및 𝔽ₚ^∞-작용(BTZ15)에 대한 결과를 일반화하고 통합하여, 임의의 가산 아벨 군으로 확장한다.
• 에르고딕 푸르스텐베르크 대응 원리를 사용하여, 양의 상한 밀도를 가진 집합에서 심지성 구성에 관한 새로운 조합론적 정리를 도출한다.