[논문 리뷰] Multiple solutions for a fractional $p$-Laplacian equation with sign-changing potential

Vincenzo Ambrosio|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 16.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 16인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 부호가 변화하는 잠재력과 함께 분수계수 $p$-라플라스 방정식에 대해 약한 해가 무수히 많이 존재함을 입증하기 위해 펌페이트 정리의 변종을 사용한다. 분수계수 $p$-라플라스 연산자, 잠재력 $V(x)$, 그리고 $p$-초선형 비선형성 $f(x,u)$를 포함하는 함수족을 분석함으로써, 표준적인 성장 조건과 대칭 조건 하에서 다수의 해 존재를 증명하였으며, 이는 국소적이지 않은 비선형 연산자와 부정확한 잠재력을 가진 이전 연구를 확장한다.

ABSTRACT

We use a variant of the fountain Theorem to prove the existence of infinitely many weak solutions for the following fractional p-Laplace equation (-Δ)^{s}_{p}u+V(x)|u|^{p-2}u=f(x,u) in R^N, where $s \in (0,1)$,$ p \geq 2$,$ N \geq 2$, $(-Δ)^{s}_{p}$ is the fractional $p$-Laplace operator, the nonlinearity f is $p$-superlinear at infinity and the potential V(x) is allowed to be sign-changing.

연구 동기 및 목표

• 부호가 변화하는 잠재력 $V(x)$를 가진 분수계수 $p$-라플라스 방정식에 대해 무수히 많은 비자명한 약한 해의 존재를 입증하는 것.
• 지역적 $p$-라플라스 연산자 및 분수계수 슈뢰딩거 방정식에서의 다수 해 존재 결과를 국소적이지 않은 비선형 연산자와 부정확한 잠재력이 있는 비선형 설정으로 확장하는 것.
• 비선형성 $f(x,u)$에 대해 $p$-초선형 성장 조건과 대칭 조건(기본 대칭성 및 암브로세티-라비노비츠 유형 조건 포함)을 고려하여 문제를 분석하는 것.
• 에너지 함수 $\mathcal{J}_{\lambda}$에 대해 비판점 이론 프레임워크에서 펌페이트 정리의 변종이 적용 가능한지 확인하는 것.

제안 방법

• 에너지 함수 $\mathcal{J}_{\lambda}(u) = A(u) - \lambda B(u)$의 비판점 문제로 문제를 수식화하며, 여기서 $A(u)$는 가가르도 반세미노름과 잠재력 항을 포함하고, $B(u)$는 $F(x,u)$의 적분이다.
• Banach 공간 $E$를 $C_0^\infty(\mathbb{R}^N)$의 완비화로 정의하며, 노름은 $||u||_E^p = \iint_{\mathbb{R}^{2N}} \frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{N+sp}} \,dx\,dy + \int_{\mathbb{R}^N} V(x)|u(x)|^p \,dx$로 주어진다.
• 존(Zou)의 펌페이트 정리의 변종을 적용하며, 이는 대칭성, 유계성, 하부공간 $Y_k$와 $Z_k$ 사이의 특정 연결 기하학 조건을 요구한다.
• 함수 $\mathcal{J}_{\lambda}$가 펌페이트 정리 조건을 만족함을 검증한다: 대칭성, 유계 집합에서의 균일 유계성, 그리고 모든 $\lambda \in [1,2]$에 대해 $r_k > \rho_k$ 인 반경이 존재하여 $\beta_k(\lambda) < \alpha_k(\lambda)$ 를 만족한다.
• 집중-콤���터성 추론과 약한 수렴을 이용하여, 세라미 수열이 유계임을 증명하며, 이는 도미네이티드 수렴 정리와 파투의 보조정리를 활용한다.
• 모순을 이용하여 부분수열의 강한 수렴성을 확립하며, 무한히 커지는 수열이 에너지 값이 발산하게 되어 비판값의 유계성과 모순됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 펌페이트 정리는 부호가 변화하는 잠재력을 가진 분수계수 $p$-라플라스 방정식에 대해 해의 다수 존재를 증명하는 데 적합하게 변형될 수 있는가?
• RQ2 비선형성 $f(x,u)$와 잠재력 $V(x)$에 대해 어떤 조건이면 방정식 $(-\Delta)_p^s u + V(x)|u|^{p-2}u = f(x,u)$가 무수히 많은 비자명한 약한 해를 가질 수 있는가?
• RQ3 비선형성 $f(x,u)$가 $p$-초선형이고 기저 대칭성을 가지며, 잠재력 $V(x)$가 부호가 변화하는 경우, 비국소적 설정에서 여전히 무수히 많은 비판점이 존재할 수 있는가?
• RQ4 잠재력 $V(x)$가 정정의가 아닐 경우, 문제의 에너지 함수가 펌페이트 정리에서 요구하는 기하학적 조건과 콤팩트성 조건을 만족할 수 있는가?

주요 결과

• 잠재력 $V(x)$에 대한 조건 (V1)–(V2)와 비선형성 $f(x,u)$에 대한 조건 (f1)–(f4) 하에서 문제는 무수히 많은 비자명한 약한 해를 가진다.
• 해의 다수 존재는 $\lambda \in [1,2]$인 함수 $\mathcal{J}_{\lambda}(u)$에 대해 펌페이트 정리의 변종을 적용하여 입증된다.
• 비판값 $\mathcal{J}(u^k)$는 $c_k \leq \mathcal{J}(u^k) \leq d_k$ 를 만족하며, $k \to \infty$ 일 때 $c_k \to \infty$ 이므로 서로 다른 무수히 많은 해가 보장된다.
• 비판점의 수열 $\{u_n^k\}$은 공간 $E$에서 유계이며, 부분수열이 $\mathcal{J}_1 = \mathcal{J}$의 비자명한 비판점으로 강하게 수렴한다.
• 증명은 약한 수렴과 거의 어디서나의 점별 수렴을 조합한 모순 추론에 기반하며, 도미네이티드 수렴 정리와 파투의 보조정리를 활용하여 $F(x,u)$의 성장률을 제어한다.
• 비선형성의 대칭성 $f(x,-t) = -f(x,t)$과 $F(x,t)$의 음이 아닌 성질은 함수가 짝수임과 동시에 연결 기하학 조건이 유지됨을 보장하는 데 필수적이다.