[논문 리뷰] Multiple zeta values over global function fields

Riad Masri|ArXiv.org|2005. 12. 01.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 전역 함수체 위에서 다중 리만 제타함수의 모든 복소 차원으로의 유리형 해석적 계속성을 확립하며, 이 함수들이 $ q^{-s_1}, \dots, q^{-s_d} $ 에 대한 유리함수임을 증명한다. 특히 특정 분모를 갖는다. 리만-로흐 정리를 이용하여, 이 함수들이 특정 선형 부분다양체 위에서 단순극을 갖는다는 것을 보이며, 오일러-자지에르 다중 제타함수의 해석적 이론을 함수체로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we develop the analytic theory of a multiple zeta function in d independent complex variables defined over a global function field. This is the function field analog of the Euler-Zagier multiple zeta function of depth d.

연구 동기 및 목표

• 전역 함수체 위에서 다중 제타함수의 해석적 이론을 $ \mathbb{Q} $ 위의 오일러-자지에르 다중 제타함수와 유사하게 발전시키는 것.
• $ Z_d(K; s_1, \dots, s_d) $ 가 모든 $ (s_1, \dots, s_d) \in \mathbb{C}^d $ 로의 유리형 해석적 계속성을 확립하는 것.
• $ Z_d(K; s_1, \dots, s_d) $ 가 주어진 분모를 갖는 $ q^{-s_1}, \dots, q^{-s_d} $ 에 대한 유리함수임을 보이는 것.
• 가능한 극의 위치를 선형 부분다양체 $ s_k + \cdots + s_d = 0, 1, \dots, d-k+1 $ 에서만 존재하도록 특성화하는 것.

제안 방법

• 비감소하는 차수를 갖는 유효인수 튜플 위에서의 합으로 다중 제타함수 $ Z_d(K; s_1, \dots, s_d) $ 를 정의한다.
• 전역 함수체에 대한 리만-로흐 정리를 사용하여 주어진 차수를 갖는 유효인수의 수를 분석한다.
• 인수의 차수에 따라 함수를 합으로 표현하고, 종수 $ g $ 에 따라 유한부와 무한부로 분할한다.
• 기하급수 합과 유리함수 변환을 적용하여 합의 무한 꼬리 부분을 다룬다.
• 리만-로흐 공식 $ \ell(D) = \deg(D) - g + 1 + \ell(K - D) $ 을 사용하여 $ n \geq 2g - 1 $ 에 대해 $ b_n = \#\{ D \geq 0 : \deg(D) = n \} $ 를 계산한다.
• 유한부와 무한부를 $ u = q^{-s} $, $ v = q^{-w} $ 에 대한 생성함수로 결합하고, 전체 함수가 주어진 위치에 극을 갖는 유리함수임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전역 함수체 위의 다중 제타함수는 모든 $ \mathbb{C}^d $ 로 유리형 해석적 계속이 가능한가?
• RQ2 전역 함수체 위의 다중 제타함수는 제어 가능한 분모를 갖는 $ q^{-s_1}, \dots, q^{-s_d} $ 에 대한 유리함수인가?
• RQ3 다중 제타함수의 극은 복소수 도메인에서 어디에 위치하는가?
• RQ4 리만-로흐 정리는 함수체 설정에서 다중 제타함수의 해석적 계속을 어떻게 지원하는가?

주요 결과

• 다중 제타함수 $ Z_d(K; s_1, \dots, s_d) $ 는 모든 $ (s_1, \dots, s_d) \in \mathbb{C}^d $ 로의 유리형 해석적 계속성을 갖는다.
• 함수는 각각의 $ q^{-s_1}, \dots, q^{-s_d} $ 에 대해 유리함수이며, 분모는 $ K $ 의 종수와 계수수에 의해 명시적으로 결정된다.
• 함수는 $ k = 1, \dots, d $ 에 대해 선형 부분다양체 $ s_k + \cdots + s_d = 0, 1, \dots, d-k+1 $ 에서 가능한 단순극을 갖는다.
• 깊이 2의 경우, 함수 $ Z_2(K; s, w) $ 는 $ q^{-s} $ 와 $ q^{-w} $ 에 대해 유리함수이며, 극은 $ w=0,1 $, $ s+w=0,1,2 $, $ s=0,1 $ 에서 존재한다.
• 생성함수 $ A(u,v) $, $ B(u,v) $, $ C(u,v) $ 가 구성되었으며, 이들은 모두 유리함수임을 보였다. 특히 $ C(u,v) $ 는 $ u^{2g-1} $ 과 $ v $ 차수 $ 1+2+\cdots+2g $ 까지 포함된다.
• 곱 $ Q(u,v)Z_2(K;s,w) $ 는 $ u $ 와 $ v $ 에 대해 유계 차수의 다항식임을 보여, 전체 제타함수의 유리함수성과 유리형 구조를 확인한다.