[논문 리뷰] Multiplication on uniform $λ$-Cantor sets

Jiangwen Gu, Kan Jiang외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 18.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 중간 세분의 칸토어 집합 $C$에 대해 곱집합 $C \cdot C$의 완전한 위상수학적 및 측도론적 기술을 제공하며, 균일한 $\lambda$-칸토어 집합으로의 분석을 확장한다. 자기유사성과 간격 반복을 이용하여 $K_\lambda \cdot K_\lambda = \{0\} \cup \bigcup_{n=0}^\infty \lambda^n (K_R \cdot K_R)$ 를 증명한다. 여기서 $K_R$ 는 잔여 부분집합이며, $\lambda$ 에 대한 함수로서 곱집합의 르베그 측도의 연속성을 확립한다. 중간 세분의 칸토어 집합에 대해 $C \cdot C$ 의 측도는 약 0.80955로 수치적으로 추정된다.

ABSTRACT

Let $C$ be the middle-third Cantor set. Define $C*C=\{x*y:x,y\in C\}$, where $*=+,-,\cdot,÷$ (when $*=÷$, we assume $y eq0$). Steinhaus \cite{HS} proved in 1917 that \[ C-C=[-1,1], C+C=[0,2]. \] In 2019, Athreya, Reznick and Tyson \cite{Tyson} proved that \[ C÷C=\bigcup_{n=-\infty}^{\infty}\left[ 3^{-n}\dfrac{2}{3},3^{-n}\dfrac {3}{2} ight] . \] In this paper, we give a description of the topological structure and Lebesgue measure of $C\cdot C$. We indeed obtain corresponding results on the uniform $λ$-Cantor sets.

연구 동기 및 목표

• 중간 세분의 칸토어 집합의 곱집합 $C \cdot C$ 의 위상수학적 및 측도론적 구조를 기술하는 것, 이는 분수기하학의 기본 대상이다.
• 매개수 $\lambda \in [1/(m+1), 1/m)$ 를 가진 반복 함수 체계로 정의된 균일한 $\lambda$-칸토어 집합으로 분석을 일반화하는 것.
• $K_\lambda \cdot K_\lambda$ 의 르베그 측도가 $\lambda$ 의 함수로서 연속성을 확립하는 것.
• 이전 연구에서 측도상으로만 경계를 정한 채로 열려 있던 $C \cdot C$ 의 정확한 구조를 해결하는 것.

제안 방법

• IFS $\{f_i(x) = \lambda x + i\delta\}_{i=0}^{m-1}$ 를 통해 균일한 $\lambda$-칸토어 집합 $K_\lambda$ 를 정의한다. 여기서 $\delta = \lambda + g$, $g = (1 - m\lambda)/(m-1)$ 이다.
• 첫 번째 자릿수가 $\geq 1$ 인 기본 간격의 집합 $\mathcal{A}$ 를 도입하고, $I \in \mathcal{A}$ 에 대해 $\widehat{I} = \bigcup_{p<q} (I^{(p)} \cdot I^{(q)})$ 를 정의하여 부분간격 간의 교차곱을 포괄한다.
• $K_\lambda \cdot K_\lambda = \{0\} \cup \bigcup_{n=0}^\infty \lambda^n (K_R \cdot K_R)$ 를 증명한다. 여기서 $K_R = \bigcup_{i=1}^{m-1} f_i(K_\lambda)$ 이다.
• 간격 반복과 측도 추정을 이용하여 $K_R \cdot K_R$ 에서 $\bigcup_{I \in \mathcal{A}} \widehat{I}$ 의 여집합의 측도를 유계로 제한하며, 이는 $\lambda$ 에 따라 기하급수적으로 감소함을 보인다.
• $\phi_n(\lambda)$ 의 균일 수렴을 통해 $\Phi(\lambda) = \mathcal{L}(K_\lambda \cdot K_\lambda)$ 의 연속성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중간 세분의 칸토어 집합 $C$ 에 대해 $C \cdot C$ 의 정확한 위상적 구조는 무엇인가?
• RQ2 매개수 $\lambda \in [1/(m+1), 1/m)$ 인 균일한 $\lambda$-칸토어 집합에 대해 곱집합 $K_\lambda \cdot K_\lambda$ 는 어떻게 분해되는가?
• RQ3 $K_\lambda \cdot K_\lambda$ 의 르베그 측도는 $\lambda$ 에 따라 연속적으로 변하는가?
• RQ4 일부 $\lambda$ 에 대해 $\{x^2 : x \in K_R\}$ 는 $\bigcup_{I \in \mathcal{A}} \widehat{I}$ 에 흠뻑 스며들 수 있는가?
• RQ5 $\mathcal{L}(K_\lambda \cdot K_\lambda)$ 는 $\lambda$ 에 대해 증가하는가?

주요 결과

• 중간 세분의 칸토어 집합 ($m=2$, $\lambda=1/3$) 에 대해 곱집합 $C \cdot C$ 는 약 0.80955 의 르베그 측도를 가지며, 이는 수치적 근사로 계산되었다.
• $K_\lambda \cdot K_\lambda = \{0\} \cup \bigcup_{n=0}^\infty \lambda^n (K_R \cdot K_R)$ 로 주어지며, 여기서 $K_R$ 는 인덱스 $\geq 1$ 인 사상들에 의한 $K_\lambda$ 의 이미지들의 합집합이다.
• $K_R \cdot K_R$ 는 $\bigcup_{I \in \mathcal{A}} \widehat{I}$ 와 $\{x^2 : x \in K_R\}$ 의 합집합이며, 후자는 르베그 측도가 0이다.
• $m=2$ 이고 $\lambda \in (0.44, 1/2)$ 이면, $K_R \cdot K_R \setminus \bigcup_{I \in \mathcal{A}} \widehat{I}$ 는 정확히 $\{(1-\lambda)^2, 1\}$ 이며, 따라서 $\bigcup_{I \in \mathcal{A}} \widehat{I} = ((1-\lambda)^2, 1)$ 이다.
• $\mathcal{L}(K_\lambda \cdot K_\lambda)$ 는 $[1/(m+1), 1/m)$ 에서 연속이며, 유한 근사의 균일 수렴을 통해 증명되었다.
• $\Phi(\lambda) = \mathcal{L}(K_\lambda \cdot K_\lambda)$ 는 연속이며, 수치적 증거는 이 함수가 $[1/(m+1), 1/m)$ 에서 증가할 가능성이 있음을 시사한다.