[논문 리뷰] Multiplicity results and sign changing solutions of non-local equations with concave-convex nonlinearities

Mousomi Bhakta, Debangana Mukherjee|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 17.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유계 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 내에서 일반적인 적분미분연산자 $\mathcal{L}_K$에 의해 구동되는 비국소 타원형 방정식에 대해 볼록-볼록 비선형성과 함께 무수히 많은 비자명한 해의 존재를 확립한다. 또한 특정한 매개변수 조건, 즉 $p = \frac{N+2s}{N-2s}$, $\frac{1}{2}(\frac{N+2s}{N-2s}) < q < 1$, $N > 6s$, $\lambda = 1$ 하에서, 연산자가 분수라플라스 $-(-\Delta)^s$로 감소할 경우, 충분히 작은 $\mu > 0$ 에 대해 적어도 하나의 부호가 바뀌는 해의 존재를 증명한다. 결과는 적절한 분수 스토퍼프 공간 프레임워크 내에서 변분 방법과 임계점 이론을 통해 도출된다.

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of infinitely many nontrivial solutions of the following equations driven by a nonlocal integro-differential operator $L_K$ with concave-convex nonlinearities and homogeneous Dirichlet boundary conditions \begin{eqnarray*} \mathcal{L}_{K} u + μ\, |u|^{q-1}u + λ\,|u|^{p-1}u &amp;=&amp; 0 \quad ext{in}\quad Ω, \\[2mm] u&amp;=&amp;0 \quad\mbox{in}\quad\mathbb{R}^N\setminusΩ, \end{eqnarray*} where $Ω$ is a smooth bounded domain in $\mathbb{R}^N$, $N&gt;2s$, $s\in(0, 1)$, $06s$, $λ=1$, we find $μ^*&gt;0$ such that for any $μ\in(0,μ^*)$, there exists at least one sign changing solution.

연구 동기 및 목표

• 유계 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 내에서 일반적인 적분미분연산자 $\mathcal{L}_K$에 의해 구동되는 비국소 타원형 방정식에 대해 볼록-볼록 비선형성과 함께 무수히 많은 비자명한 약한 해의 존재를 확립한다.
• 연산자가 분수라플라스 $-(-\Delta)^s$로 감소할 경우, 임계 성장 조건과 특정한 매개변수 영역 하에서 적어도 하나의 부호가 바뀌는 해의 존재를 조사한다.
• 특히 분수 스토퍼프 공간과 특이 커널을 지닌 비국소 연산자를 고려한 비국소 문제에 대해 하향 및 초등비선형성의 조합이 있는 다중 해 결과를 확장한다.
• 에너지 함수 $I_\mu^\lambda$를 이용한 변분 프레임워크를 제공하고, 임계점 이론을 적용하여 해의 존재성과 다중성을 확립한다.

제안 방법

• 비국소 에너지 반노름과 커널 $K$를 포함하는 노름을 갖는, 거의 어디에서나 0이 되는 함수들의 공간인 힐버트 공간 $X_0$ 내에서 문제를 수식화한다.
• 약한 해를 다음과 같은 변분 형태로 정의한다: 모든 시험 함수 $\phi \in X_0$ 에 대해 $\int_Q (u(x)-u(y))(φ(x)-φ(y))K(x-y)\,dxdy = \mu\int_\Omega |u|^{q-1}u\,\phi\,dx + \lambda\int_\Omega |u|^{p-1}u\,\phi\,dx$.
• 오일러-라그랑주 에너지 함수 $I_\mu^\lambda(u) = \frac{1}{2}\|u\|_{X_0}^2 - \frac{\mu}{q+1}\|u\|_{L^{q+1}}^{q+1} - \frac{\lambda}{p+1}\|u\|_{L^{p+1}}^{p+1}$ 를 도입하며, 슈바르츠 포함성 $X_0 \hookrightarrow L^{2^*}(\Omega)$ 덕분에 $X_0$ 위에서 $C^1$이다.
• 산맥 정리와 포브레인 정리를 적용하여 $\mu > 0$ 이고 $\lambda \geq 0$ 이며 조건 $0 < q < 1 < p \leq \frac{N+2s}{N-2s}$ 를 만족할 경우, 무수히 많은 비자명한 해의 존재를 증명한다.
• 포호자에르 타입 항등식과 붕괴 분석을 사용하여 팔라이스-스무스 수열에서 분산과 분열을 배제함으로써 컴actness와 임계점으로의 수렴을 확보한다.
• 특정 조건 $p = \frac{N+2s}{N-2s}$, $\frac{1}{2}(\frac{N+2s}{N-2s}) < q < 1$, $N > 6s$, $\lambda = 1$ 하에서, 소형 $\mu > 0$ 에 대해 네하리 다양체 방법을 사용하여 정확히 두 개의 노달 도메인을 갖는 임계점을 찾는다. 이는 부호가 바뀌는 해의 존재를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소 방정식 $\mathcal{L}_K u + \mu |u|^{q-1}u + \lambda |u|^{p-1}u = 0$ 가 도메인 $\Omega$ 내에서 $u = 0$ 이다 $\mathbb{R}^N \setminus \Omega$ 에서 성립할 때, $0 < q < 1 < p \leq \frac{N+2s}{N-2s}$ 이고 $\mu > 0$ 일 경우, 무수히 많은 비자명한 약한 해를 갖는가?
• RQ2 분수라플라스 경우($\mathcal{L}_K = -(-\Delta)^s$)에서, $p = \frac{N+2s}{N-2s}$, $\frac{1}{2}(\frac{N+2s}{N-2s}) < q < 1$, $N > 6s$, $\lambda = 1$ 이고 충분히 작은 $\mu > 0$ 일 경우, 적어도 하나의 부호가 바뀌는 해를 갖는가?
• RQ3 비선형성이 볼록-볼록 형식이고 연산자가 분수라플라스일 경우, 단위 구 내에서 양의 해의 수를 유계화하거나 특성화할 수 있는가?
• RQ4 커널 $K$ 는 $X_0 \hookrightarrow L^{2^*}(\Omega)$ 의 컴팩트 임베딩과 비국소 설정에서 포호자에르 항등식의 타당성을 확보하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 하향항($q < 1$) 과 초등비선형항($p > 1$) 간의 상호작용은 비국소 문제에서 해의 다중성과 노달 구조에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 $0 < q < 1 < p \leq \frac{N+2s}{N-2s}$, $\mu > 0$, $N > 2s$ 조건 하에서, $X_0$ 의 변분 프레임워크 내에서 포브레인 정리를 사용하여 볼록-볼록 비선형성을 지닌 비국소 방정식에 대해 무수히 많은 비자명한 약한 해의 존재를 증명한다.
• 분수라플라스 경우($\mathcal{L}_K = -(-\Delta)^s$)에서 $p = \frac{N+2s}{N-2s}$, $\frac{1}{2}(\frac{N+2s}{N-2s}) < q < 1$, $N > 6s$, $\lambda = 1$ 이고 모든 $\mu \in (0, \mu^*)$ 에 대해 $\mu^* > 0$ 이 충분히 작을 경우, 적어도 하나의 부호가 바뀌는 해의 존재가 입증된다.
• 이전 연구에서 $\mu \in (0, \mu_0)$ 일 경우 최소 두 개의 양의 해가 존재한다는 것이 알려져 있으며, 본 논문은 동일한 작은 $\mu$ 영역에서 최소 하나의 부호가 바뀌는 해의 존재를 보다 확장한다.
• 증명은 적절한 팔라이스-스무스 수열의 구성, 분산과 분열을 배제하기 위한 포호자에르 항등식의 사용, 그리고 정확히 두 개의 노달 영역을 갖는 임계점을 찾기 위한 네하리 다양체 방법에 기반한다.
• 에너지 함수에서 $L^{2^*}$-노름을 제어하기 위해 최적의 분수 임계 슈바르츠 상수 $S_K$ 를 사용하며, 팔라이스-스무스 수열에서 함수 $\psi_\mu(u_n)$ 에 대해 일관된 하한 $d_0 > 0$ 이 존재하면 모순이 발생함을 보여 컴팩트니스를 증명한다.
• 저자들은 에너지 함수 $I_\mu^\lambda$ 가 슈바르츠 포함성 $X_0 \hookrightarrow L^{2^*}(\Omega)$ 덕분에 $X_0$ 위에서 잘 정의되고 $C^1$ 임을 확립하며, 이는 임계점 이론 적용에 필수적이다.