[논문 리뷰] Multishifts on Directed Cartesian Product of Rooted Directed Trees

Sameer Chavan, Deepak Kumar Pradhan외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 13.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한한 루트를 가진 방향성 트리의 방향성 카티esian 곱상에서 구면 평형 다중이동 연산자 클래스를 도입하며, 공동 등거리성과 고전적 $d$-이동(슈에고, 베르그만, 드루리-아르베손)을 일반화한다. 이들 다중이동 연산자와 $E$-값을 가진 해석적 함수의 재생 커널 힐버트 공간 위의 곱셈 튜플 사이의 유니타리 동치를 확립하며, 커널은 수반 이동 곱의 역수 거듭제곱을 통해 명시적으로 구성된다. 이는 비가환 트리 이동에 대한 해석적 모델 이론을 확장한다.

ABSTRACT

We systematically develop the multivariable counterpart of the theory of weighted shifts on rooted directed trees. Capitalizing on the theory of product of directed graphs, we introduce and study the notion of multishifts on directed Cartesian product of rooted directed trees. This framework unifies the theory of weighted shifts on rooted directed trees and that of classical unilateral multishifts. Moreover, this setup brings into picture some new phenomena such as the appearance of system of linear equations in the eigenvalue problem for the adjoint of a multishift. In the first half of the paper, we focus our attention mostly on the multivariable spectral theory and function theory including finer analysis of various joint spectra and wandering subspace property for multishifts. In the second half, we separate out two special classes of multishifts, which we refer to as torally balanced and spherically balanced multishifts. The classification of these two classes is closely related to toral and spherical polar decompositions of multishifts. Furthermore, we exhibit a family of spherically balanced multishifts on $d$-fold directed Cartesian product $\mathscr T$ of rooted directed trees. These multishifts turn out be multiplication $d$-tuples $\mathscr M_{z, a}$ on certain reproducing kernel Hilbert spaces $\mathscr H_a$ of vector-valued holomorphic functions defined on the unit ball $\mathbb B^d$ in $\mathbb C^d$, which can be thought of as tree analogs of the multiplication $d$-tuples acting on the reproducing kernel Hilbert spaces associated with the kernels $\frac{1}{(1-\langle{z},{{w} angle})^a}~(z, w \in \mathbb B^d, a \in \mathbb N).$

연구 동기 및 목표

• 국소 유한한 루트를 가진 방향성 트리의 방향성 카티esian 곱상에서 새로운 구면 평형 다중이동 연산자 클래스를 구성하기.
• 공동 등거리성과 알려진 $d$-이동(슈에고, 베르그만, 드루리-아르베손)을 트리 이론 프레임워크 내에서 일반화하기.
• 이러한 다중이동 연산자와 $E$-값을 가진 해석적 함수의 재생 커널 힐버트 공간 위의 곱셈 튜플 사이의 유니타리 동치를 확립하기.
• 수반 튜플의 공동 커널 $E$ 가 유한차원일 경우 이러한 다중이동 연산자에 대한 해석적 모델을 제공하기.

제안 방법

• 깊이 $|\alpha_v|$, 부모-자식 관계, 그리고 매개변수 $a$ 에서 유도된 수열 $\{c_{a,t}\}$ 에 따라 의존하는 가중치 $\lambda_w^{(i)}$ 를 사용하여 다중이동 $S_{\boldsymbol{\lambda}_{\mathfrak{C}_a}}$ 를 정의하기.
• 트리의 대칭성에 기반해 $i \neq j$ 인 경우 $\lambda_u^{(i)}\lambda_{\text{par}_i(u)}^{(j)} = \lambda_u^{(j)}\lambda_{\text{par}_j(u)}^{(i)}$ 를 확인함으로써 다중이동이 가환성을 만족함을 증명하기.
• $\sum_{j=1}^d \|S_j e_v\|^2 = c_{|\alpha_v|}$ 를 보여주어 $\mathfrak{C}(v) = c_{|\alpha_v|}$ 를 통해 구면 평형임을 증명하기.
• 유일한 분해 $l^2(V) = \bigoplus_{\alpha \in \mathbb{N}^d} S^{\alpha}_{\boldsymbol{\lambda}} E$ 를 확립하여 $E$-값을 가진 형식적 멱급수의 힐버트 공간을 가능하게 하기.
• $\|S^{\alpha}_{\boldsymbol{\lambda}} f_\alpha\|^2$ 를 사용해 공간 $\mathscr{H}_{a,d}$ 위의 내적을 정의하며, $S^{*\alpha} S^\alpha$ 가 $E$ 위에서 아래로 유계임을 보장함으로써 완비성 확보하기.
• $U S_j = \mathscr{M}_{z_j} U$ 를 만족하는 유니타리 사상 $U: l^2(V) \to \mathscr{H}_{a,d}$ 를 구성하여 다중이동 연산자와 곱셈 튜플 $\mathscr{M}_{z,a}$ 사이의 유니타리 동치를 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공동 등거리성 이외의 경우, 루트를 가진 방향성 트리의 방향성 카티esian 곱상에서 구면 평형 다중이동 연산자를 구성할 수 있는가?
• RQ2 깊이와 분기 구조에 따라 가중치 $\lambda_w^{(i)}$ 는 어떻게 결정되어야 구면 평형을 보장하는가?
• RQ3 구면 평형 다중이동 연산자가 재생 커널 힐버트 공간 위의 곱셈 튜플과 유니타리 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 고전적 $d$-이동의 해석적 모델은 공동 커널 $E$ 를 통해 비가환 트리 기반 연산자로 확장될 수 있는가?
• RQ5 다중이동 연산자 $S_{\boldsymbol{\lambda}_{\mathfrak{C}_a}}$ 와 관련된 힐버트 공간 $\mathscr{H}_{a,d}$ 의 재생 커널의 명시적 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 다중이동 연산자 $S_{\boldsymbol{\lambda}_{\mathfrak{C}_a}}$ 는 $\sum_{j=1}^d \|S_j e_v\|^2 = c_{|\alpha_v|}$ 를 만족하며, 깊이에만 의존하는 함수이므로 구면 평형임을 확인한다.
• $c_t = 1$ 이 모든 $t$ 에 대해 성립할 경우, 다중이동 연산자는 공동 등거리성이 되며 고전적 경우를 복원한다.
• $c_{a,t} = \frac{t+d}{t+1}$ 이면, 다중이동 연산자는 단위 구면상의 딜레르트 $d$-이동에 해당한다.
• $a = d$, $a = d+1$, $a = 1$ 인 경우, 각각 단위 구면상의 슈에고, 베르그만, 드루리-아르베손 $d$-이동에 해당한다.
• 다중이동 연산자 $S_{\boldsymbol{\lambda}_{\mathfrak{C}_a}}$ 는 $E$-값을 가진 해석적 함수의 재생 커널 힐버트 공간 $\mathscr{H}_{a,d}$ 상의 곱셈 튜플 $\mathscr{M}_{z,a}$ 와 유니타리 동치이다.
• 재생 커널은 $\kappa_{\mathscr{H}_{a,d}}(z,w) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^d} D_\alpha z^\alpha \overline{w}^\alpha$ 로 주어지며, 여기서 $D_\alpha = (S^{*\alpha} S^\alpha|_E)^{-1}$ 이다.