[논문 리뷰] Mumford-Shah and Potts Regularization for Manifold-Valued Data with Applications to DTI and Q-Ball Imaging

Andreas Weinmann, Laurent Demaret외 1명|2014. 10. 07.

Bone and Joint Diseases참고 문헌 77인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 다양한 다각형 데이터에 대한 Mumford-Shah 및 Potts 정규화를 위한 새로운 알고리즘을 제안하며, 데이터 공간의 이산화 없이 Cartan-Hadamard 다각형에서 동적 프로그래밍과 볼록 최적화를 활용하여 전역 최소화자를 계산한다. 이 방법은 확산 원자 영상(DTI) 및 Q-ball 영상에서 가장자리 보존형 노이즈 제거와 분할을 가능하게 하며, 이론적 수렴 보장을 바탕으로 정확한 대뇌백질 분할을 달성한다.

ABSTRACT

Mumford-Shah and Potts functionals are powerful variational models for regularization which are widely used in signal and image processing; typical applications are edge-preserving denoising and segmentation. Being both non-smooth and non-convex, they are computationally challenging even for scalar data. For manifold-valued data, the problem becomes even more involved since typical features of vector spaces are not available. In this paper, we propose algorithms for Mumford-Shah and for Potts regularization of manifold-valued signals and images. For the univariate problems, we derive solvers based on dynamic programming combined with (convex) optimization techniques for manifold-valued data. For the class of Cartan-Hadamard manifolds (which includes the data space in diffusion tensor imaging), we show that our algorithms compute global minimizers for any starting point. For the multivariate Mumford-Shah and Potts problems (for image regularization) we propose a splitting into suitable subproblems which we can solve exactly using the techniques developed for the corresponding univariate problems. Our method does not require any a priori restrictions on the edge set and we do not have to discretize the data space. We apply our method to diffusion tensor imaging (DTI) as well as Q-ball imaging. Using the DTI model, we obtain a segmentation of the corpus callosum.

연구 동기 및 목표

• 비연속성과 비볼록성으로 인해 계산이 어려운 다양형 데이터에 대한 Mumford-Shah 및 Potts 정규화의 계산적 과제를 해결하기 위해.
• Cartan-Hadamard 다양형에서 단변수 문제에 대해 초기화에 관계없이 전역 최적성을 보장하는 효율적인 해법을 개발하기 위해.
• 단변수 해법을 정확한 하위문제 분할을 통해 多변수 영상 정규화로 확장하기 위해.
• 모서리 집합에 대한 사전 제약 조건이나 데이터 공간의 이산화 없이도 의료 영상 모odalities인 DTI 및 Q-ball 영상에서의 분할 및 노이즈 제거를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 단변수 Mumford-Shah 및 Potts 문제를 다양형 데이터에 대해 동적 프로그래밍과 볼록 최적화 기법을 결합하여 해결한다.
• Cartan-Hadamard 다양형의 기하학적 구조를 활용하여 단변수 문제의 전역 최소화자를 보장한다.
• 다변수 영상 정규화를 좌표 방향에 따라 일차원 하위문제로 분할하고, 각 하위문제를 단변수 해법을 정확히 적용하여 해결한다.
• 교차 최소화 기법(분할 알고리즘)을 적용하여 변수를 반복적으로 갱신하며, Cartan-Hadamard 다양형에서 수렴성을 증명한다.
• 대칭 양의 정부호 행렬과 방향 분포 함수와 같은 비유클리드 공간의 데이터를 처리하기 위해 리만 평균과 지오데식 거리를 활용한다.
• Potts 기능에 대해 기울기(또는 하위기울기) 경사 하강 단계를 사용하며, p=2일 경우 최소화자는 리만 평균, p=1일 경우 중앙값이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비볼록성과 비연속성으로 인해 계산이 어려운 다양형 신호에 대해 Mumford-Shah 및 Potts 기능의 전역 최소화자를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 제안된 알고리즘이 초기화에 관계없이 Cartan-Hadamard 다양형에서 단변수 문제에 대해 전역 최적성을 보장하는가?
• RQ3 단변수 해법을 근사나 데이터 공간 이산화 없이 다변수 영상 정규화로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 모서리 집합에 대한 사전 가정을 최소화하면서도 DTI 및 Q-ball 영상 응용에서 정확한 분할과 노이즈 제거를 달성할 수 있는가?
• RQ5 리만 다양형에서 다변수 설정에서 교차 최소화 기법에 대해 어떤 수렴 보장을 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 시작점에 관계없이 Cartan-Hadamard 다양형에서 단변수 Mumford-Shah 및 Potts 문제의 전역 최소화자를 계산한다.
• 다변수 영상 정규화 기법은 정류점으로 수렴하며, Cartan-Hadamard 다양형에서 이론적 수렴성이 증명된다.
• 데이터 공간의 모서리 집합 이산화 없이도 노이즈 제거를 하면서 날카운 가장자리를 유지함으로써 DTI 데이터에서 대뇌백질의 분할이 가능하다.
• 허용 가능한 분할에 제한된 경우 일반적인 완전한 리만 다양형에서 Potts 기능에 대해 전역 최적성을 달성한다.
• 대칭 양의 정부호 행렬과 구면과 같은 비유클리드 다양형에 자연스럽게 존재하는 실제 의료 영상 문제인 DTI 및 Q-ball 영상에 적용 가능하다.
• 에너지 항의 균일한 유계성과 역삼각부등식의 추론을 통해 교차 최소화 알고리즘의 수렴성이 확립되며, 반복값이 공통한 극한으로 수렴함을 보장한다.