[논문 리뷰] n-ary Lie and Associative Algebras

Peter W. Michor, A. M. Vinogradov|ArXiv.org|1998. 01. 19.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 13인용 수 37

한 줄 요약

이 논문은 다중급 Nijenhuis–Richardson 및 Gerstenhaber 괄호를 사용하여 결합적이고 리 대수의 $n$-항 일반화를 도입하며, Hochschild 및 Chevalley 이론을 통해 코homological 프레임워크를 구축한다. 주요 기여는 완전히 반대칭화된 $n$-Jacobi 항등식을 통해 정의된 새로운 종류의 $n$-항 리 대수로, 이는 Filipov의 원래 정의보다 더 풍부한 대수적 구조를 제공하며 다중 미분 연산자를 통한 동역학계로의 자연스러운 확장도 가능하게 한다.

ABSTRACT

With the help of the multigraded Nijenhuis-- Richardson bracket and the multigraded Gerstenhaber bracket from [7] for every $n\ge 2$ we define $n$-ary associative algebras and their modules and also $n$-ary Lie algebras and their modules, and we give the relevant formulas for Hochschild and Chevalley cohomogy.

연구 동기 및 목표

• 다중급 대수적 기계장치를 사용하여 $n$-항 결합적 및 리 대수를 위한 체계적인 $G$-급 프레임워크를 개발하기.
• 모듈, 도함수 및 코homology(Hochschild 및 Chevalley) 개념을 $n$-항 대수로 일반화하기.
• Filipov의 $n$-리 대수에 대한 대안으로 완전히 반대칭화된 $n$-Jacobi 항등식을 사용하여 더 유연하고 다양한 대수적 구조를 가진 $n$-항 리 대수를 제안하기.
• 다중 미분 연산자를 통한 $n$-Poisson 구조와의 연결을 통해 $n$-항 대수와 동역학계 간의 관계를 수립하기.

제안 방법

• 논문 [7]에서 유래한 다중급 Nijenhuis–Richardson 및 Gerstenhaber 괄호를 사용하여 $n$-항 대수를 구성하는 데 기초가 되는 대수적 기계장치로 활용한다.
• $G$-급 벡터 공간과 일반화된 결합 조건을 만족하는 $n$-선형 연산자를 사용하여 $n$-항 결합 대수와 그 모듈을 정의한다.
• 완전히 반대칭화된 $n$-Jacobi 항등식을 통해 $n$-항 리 대수를 도입하여 반대칭성과 일반화된 Jacobi 관계를 보장한다.
• 모든 $n$-항 연산을 반대칭 형태로 매핑하기 위해 $\operatorname{Alt}$ 연산자를 사용하며, 이는 $n$-항 대수와 이원 리 대수 간의 연결 고리를 형성한다.
• 유도 괄호 형식과 급수 도함수를 사용하여 $n$-항 대수의 코homology 이론(Hochschild 및 Chevalley)을 유도한다.
• 텐서 곱에 대한 유사 도함수 작용 $\rho(P)$를 수립하며, 이는 급수 리 괄호 $[P,Q]^S$와 호환되어 코homological 계산을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 괄호 구조를 사용하여 다중급 프레임워크 내에서 $n$-항 결합적 및 리 대수를 어떻게 체계적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 완전히 반대칭화된 $n$-Jacobi 항등식은 Filipov의 원래 정의에 비해 더 유연한 $n$-항 리 대수를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 Hochschild 및 Chevalley 코homology 이론은 어떻게 $n$-항 대수로 확장되며, 어떤 대수적 구조를 분류하는가?
• RQ4 $n$-Poisson 구조가 다중 미분 연산자를 통해 정의될 때, $n$-항 대수는 물리적 동역학계와 어떻게 연결될 수 있는가?
• RQ5 코homology 이론의 맥락에서 유도 괄호 $[P,Q]^S$와 작용 $\rho(P)$의 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 완전히 반대칭화된 $n$-Jacobi 항등식은 Filipov의 원래 정의보다 더 풍부하고 다양한 대수적 구조를 지닌 $n$-항 리 대수를 생성한다.
• 연산자 $\operatorname{Alt}$는 임의의 $n$-항 F-리 대수 구조 $\mu$를 표준 리 대수 구조로 매핑하며, $n$-항 대수와 이원 리 대수 간의 연결 고리를 형성한다.
• 유도 괄호 $[P,Q]^S$는 $n$-항 연산의 공간 위에서 급수 리 대수를 형성하며, $\rho(P)$는 계수를 가진 도함수처럼 행동한다.
• $n$-항 대수의 코hom로지가 Hochschild 및 Chevalley 이론을 통해 형식화되어 고전적인 코homological 도구가 $n$-항 설정으로 확장된다.
• 이 구성은 자연스러운 동역학적 실현을 지원한다: $n>2$일 때, $\mathcal{C}^\infty(M)$ 상의 $n$-Poisson 구조는 $n$개의 서로 가환하는 랭크 $n$의 벡터장에 의해 국소적으로 특징지어지며, 이는 기존 결과와의 일관성과 강성(rigidity)을 확인한다.
• 이 프레임워크는 $\rho(P)$ 작용과 $S^{p,q}$ 부호 연산자를 사용하여 텐서 대칭을 다룰 수 있는 체계적인 $n$-항 대수의 계수를 가진 처리를 가능하게 한다.