[논문 리뷰] N\'eron's pairing and relative algebraic equivalence

Cédric Pépin|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 02.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 완비 이산 평가환수 위의 임의의 사영적, 평탄하고 기하학적으로 연결된 스킴에 대해, 0-사이클 중도수 0인 것들과 대수적으로 0과 동치인 분해형에 대한 Néron의 쌍대성(pairing)을 통합된 교차 이론적 기술로 제시한다. 반인정모형(semi-factorial models)을 사용하여, 이전의 곡선(Gross-Hriljac) 및 아벨 다양체(Néron)에 대한 결과를 일반화하며, Néron 모형에 대한 Grothendieck의 쌍대성 추측을 반인정compactification 위의 대수적 동치 관계에 관해 새롭게 해석한다.

ABSTRACT

Let R be a complete discrete valuation ring with algebraically closed residue field k and fraction field K. Let X_K be a projective smooth and geometrically connected scheme over K. N\'eron defined a canonical pairing on X_K between 0-cycles of degree zero and divisors which are algebraically equivalent to zero. When X_K is an abelian variety, and if one restricts to those 0-cycles supported by K-rational points, N\'eron gave an expression of his pairing involving intersection multiplicities on the N\'eron model A of A_K over R. When X_K is a curve, Gross and Hriljac gave independantly an analogous description of N\'eron's pairing, but for arbitrary 0-cycles of degree zero, by means of intersection theory on a proper flat regular R-model X of X_K. In this article, we show that these intersection computations are valid for an arbitrary scheme X_K as above and arbitrary 0-cyles of degree zero, by using a proper flat normal and semi-factorial model X of X_K over R. When X_K=A_K is an abelian variety, and X is a semi-factorial compactification of its N\'eron model A, these computations can be used to study the algebraic equivalence on X. We then obtain an interpretation of Grothentieck's duality for the N\'eron model A, in terms of the Picard functor of X over R.

연구 동기 및 목표

• 논문은 완비 이산 평가환수 위의 사영적, 평탄하고 기하학적으로 연결된 스킴에 대해 반인정모형 위의 교차 이론을 사용하여 Néron의 쌍대성을 다양한 기하적 맥락에서 통합적으로 기술하는 것을 목적으로 한다.
• 논문은 아벨 다양체에 대한 Néron의 공식과 곡선에 대한 Gross-Hriljac의 공식을 완비 이산 평가환수 위의 임의의 사영적 평탄한 스킴으로 확장하고자 한다.
• 연구는 아벨 다양체의 Néron 모형의 반인정compactification 위에서의 대수적 동치 관계를 조사한다.
• 논문은 Néron 모형에 대한 Grothendieck의 쌍대성 추측을 Picard 함수자와 대수적 동치 관계에 관해 새롭게 기술한다.
• 논문은 특히 구성 성분 군 쌍대성의 핵을 다루는 데 중점을 두어, 임의의 Jacobian에 대한 Néron과 Grothendieck의 쌍대성 계산을 정밀화하고자 한다.

제안 방법

• 저자들은 XK의 일반성분 XK에 대해, X가 XK의 완비, 평탄, 정규, 반인정 R-모형인 경우, 교차 다중도를 이용해 자연스러운 쌍대성 [cK, DK]X를 구성한다.
• 반인정모형에서 Pic(X) → Pic(XK)의 상연성에 기반하여, XK가 사영적 평탄하고 기하학적으로 연결되어 있을 경우 이 쌍대성이 Néron의 쌍대성과 일치함을 증명한다.
• 아벨 다양체의 경우, Néron 모형 A와 그 반인정compactification A를 이용하여, A 위에서의 교차 수를 통해 쌍대성을 계산한다.
• 이 방법은 반인정모형 위에서의 Picard 함수자 이론과 특별한 섹션의 구성 성분 군 이론을 활용한다.
• 특히, Jacobian 위에서의 분해형 대응관계에 대한 Néron의 쌍대성의 상호법칙을 적용하며, 이는 θ-분해형과 곱셈-by-d 지도를 통한 역상에 관여한다.
• 유리점이 존재하고 구성 성분 군으로의 사이클의 전이를 제어하기 위해 유한 확대 위로의 기본 전환을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완비 이산 평가환수 위의 임의의 사영적 평탄한 스킴에 대해, 0-사이클 중도수 0인 것들과 대수적으로 0과 동치인 분해형에 대한 Néron의 쌍대성은 반인정모형 위의 교차 이론으로 통합적으로 기술될 수 있는가?
• RQ2 곡선과 아벨 다양체에 대한 Néron의 쌍대성의 교차 이론적 기술이 반인정모형을 통해 일반 스킴로 확장되는가?
• RQ3 Néron 모형에 대한 Grothendieck의 쌍대성 추측은 Néron 모형의 반인정compactification 위에서의 대수적 동치 관계와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 Grothendieck의 쌍대성에 있어서 구성 성분 군 쌍대성의 정확한 핵은 무엇이며, 이는 곡선의 차수와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 Néron의 쌍대성에 대한 상호법칙을 활용하여, Néron 모형 위의 교차 수를 통해 Jacobian의 구성 성분 군 간의 쌍대성을 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 반인정모형 X 위에서 교차 다중도를 통해 정의된 자연스러운 쌍대성 [cK, DK]X는 K 위의 사영적 평탄하고 기하학적으로 연결된 스킴 XK에 대해 항상 Néron의 쌍대성과 일치한다.
• 곡선의 경우, 이 방법은 정확히 Gross-Hriljac의 공식을 복원하며, 쌍대성이 특별한 섹션의 교차 행렬을 사용하여 (cK.DK) + (cK.(-V))로 표현된다.
• 아벨 다양체의 경우, K-유리점 위의 쌍대성은 교차 수와 구성 성분 군 항으로 분해된 Néron의 분해를 복원한다.
• 논문은 Grothendieck의 구성 성분 군 쌍대성 쌍대성이 완전한 것이며, 반인정compactification 위에서의 대수적 동치 관계가 자명할 때에만 성립함을 증명하며, 이는 쌍대성 추측의 새로운 기술을 제공한다.
• Jacobian의 경우, 구성 성분 군 쌍대성의 핵이 d, 곡선의 지표(index)에 의해 소멸됨을 보이며, 이는 이전의 추정치를 향상시킨다.
• 논문은 구성 성분 군 위의 쌍대성 ⟨a, da′⟩M이 ⟨da, a′⟩ mod Z 와 같음을 증명하며, d=1일 때 쌍대성 쌍대성이 완전함을 보여준다.