[논문 리뷰] n-Relative Categories

Clark Barwick, D Kan|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $n$-상대 범주를 다중 호모토피 이론—즉, 호모토피 이론의 반복적 이론—의 호모토피 이론에 대한 조합론적 모델로 도입한다. $n$-단체 공간의 Rezk 모델 구조와 $n$-단체 네트워크 함자에 의한 수반 관계를 통해 $n$-상대 범주 범주의 카테고리와의 Quillen 동치를 확립하며, 기존의 범주와 단체 집합 사이의 네트워크 이론적 대응을 고차 호모토피 수준으로 일반화한다.

ABSTRACT

We introduce, for every positive integer n, the notion of an n-relative category and show that the category of the small n-relative categories is a model for the homotopy theory of n-fold homotopy theories, i.e. homotopy theories of ... of homotopy theories.

연구 동기 및 목표

• 다중 호모토피 이론—즉, 호모토피 이론의 반복적 이론($n$번 반복)의 호모토피 이론에 대한 조합론적 모델을 개발하기 위해.
• 기존의 상대 범주 개념(단체 네트워크를 통한 호모토피 이론 모델링에 사용됨)을 고차원으로 일반화하여 다중 호모토피적 구조를 포착하기 위해.
• 상대 범주 범주와 $n$-단체 공간의 Rezk 모델 구조 사이의 Quillen 동치를 확립하여, 고전적 네트워크 이론적 대응을 고차원으로 확장하기 위해.
• 반복된 화살표 범주와 $n$-상대 범주 위의 그로텐디크 구성법을 사용하여 고차 호모토피 이론을 체계적으로 다룰 수 있는 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• $n$-상대 범주는 각각 이전 계층을 정밀화하는 $n$개의 약한 동치 하위범주를 가진 범주로 정의되며, 이는 다중 약한 동치의 계층을 형성한다.
• $n$-단체 네트워크 함자 $N: \mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat} \to \mathrm{s}^n\boldsymbol{S}$를 정의하여 $n$-상대 범주를 $n$-단체 공간으로 매핑한다.
• $n$-단체의 상대 범주로 불리는 왼쪽 수반 함자 $K: \mathrm{s}^n\boldsymbol{S} \to \mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat}$를 구성하며, 이는 네트워크 함자의 호모토피 역함수로 기능한다.
• $T \in \boldsymbol{T}$에 대해 각각의 화살표 범주 $\boldsymbol{C}^T(X,Y)$를 정의하여, 약한 동치의 $n$단계에 걸친 지지자들을 포착한다.
• $\boldsymbol{T}$-다이어그램인 화살표 범주 $\boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{T})}(X,Y)$에 대해 그로텐디크 구성법 $\operatorname{Gr}\boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{T})}(X,Y)$를 정의하여, 이들 화살표 범주를 하나의 $n$-상대 범주로 조립함으로써 고차 호모토피 데이터를 인코딩한다.
• 이로 유도된 그로텐디크 강화를 이용하여, 다중 호모토피 이론의 호모토피 이론을 모델링하는 고차 범주적 구조를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상대 범주의 개념을 다중 호모토피 이론—즉, 호모토피 이론의 반복적 이론—를 모델링할 수 있도록 일반화할 수 있는가?
• RQ2 상대 범주 범주와 $n$-단체 공간의 Rezk 모델 구조 사이에 Quillen 동치가 존재하는가?
• RQ3 $n$-상대 범주에서 $n$-단체 공간으로의 단체 네트워크 함수가 호모토피 동치로 작용하는 상대 범주로서의 동치를 보장할 수 있으며, 이에 대한 호모토피 역함수로 $n$-단체의 상대 범주 함수가 주어지는가?
• RQ4 반복된 화살표 범주와 그로텐디크 구성법을 사용하여 고차 호모토피적 구조를 조합론적으로 어떻게 인코딩할 수 있는가?
• RQ5 $\boldsymbol{T}$, 즉 유한한 전순서 집합의 범주가 약한 동치의 다중 구조를 조직화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $\mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat}$의 소형 $n$-상대 범주 범주는 $\mathrm{s}^n\boldsymbol{S}$, 즉 $n$-단체 공간의 범주인 Rezk 모델 구조와 Quillen 동치인 모델 구조를 갖는다.
• $n$-단체 네트워크 함자 $N: \mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat} \to \mathrm{s}^n\boldsymbol{S}$는 Quillen 동치이며, 이에 대한 호모토피 역함수는 $n$-단체의 상대 범주 함수 $K: \mathrm{s}^n\boldsymbol{S} \to \mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat}$에 의해 주어진다.
• 네트워크 함자는 $(\mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat}, \mathbf{Rk})$와 $(\mathrm{s}^n\boldsymbol{S}, \mathbf{Rk})$ 사이의 상대 범주로서의 호모토피 동치를 유도하며, 여기서 $\mathbf{Rk}$는 Rezk 동치의 하위범주를 나타낸다.
• $\boldsymbol{T}$-다이어그램인 화살표 범주 $\boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{T})}(X,Y)$에 대한 그로텐디크 구성법은 약한 동치의 $n$단계에 걸친 모든 지지자들을 포함하는 $n$-상대 범주 $\operatorname{Gr}\boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{T})}(X,Y)$를 유도한다.
• 그로텐디크 구성법은 $\mathbf{Rel}^{n+1}\mathbf{Cat}$에 $\mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat}$ 위의 자연스러운 강화를 제공하며, 이는 다중 호모토피 데이터를 모델링하는 고차 범주적 구조를 형성한다.
• 전체 프레임워크는 토마슨의 네트워크 정리와 그의 단순화를 고차 호모토피 수준으로 일반화하여, 다중 호모토피 이론에 대한 체계적이고 조합론적으로 다룰 수 있는 모델을 제공한다.