[논문 리뷰] Necessary and Sufficient Conditions for State Feedback Equivalence to Negative Imaginary Systems

Kanghong Shi, Ian R. Petersen외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 23.

Piezoelectric Actuators and Control참고 문헌 34인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 최소 선형 시간 불변(LTI) 시스템이 상태 피드백 동치성으로 음의 허수(NI) 시스템이 되기 위한 필요 및 충분 조건을 설정한다: 이러한 동치성은 오직 그리고 오직 시스템이 상대 차수 ≤2 및 약한 최소 위상 성질을 갖는 시스템으로 출력 변환될 수 있을 때 성립한다. 이 방법은 출력 및 입력 변환을 통해 NI 성질을 달성하며, 엄밀히 음의 허수(SNI) 불확실성을 갖는 시스템의 강건한 안정화를 가능하게 한다. 수치 예제를 통해 DC 이득 분석을 통한 점근적 안정성 보장이 가능함을 보여주었다.

ABSTRACT

In this paper, we present necessary and sufficient conditions under which a linear time-invariant (LTI) system is state feedback equivalent to a negative imaginary (NI) system. More precisely, we show that a minimal LTI strictly proper system can be rendered NI using full state feedback if and only if it can be output transformed into a system, which has relative degree less than or equal to two and is weakly minimum phase. We also considered the problems of state feedback equivalence to output strictly negative imaginary systems and strongly strict negative imaginary systems. Then we apply the NI state feedback equivalence result to robustly stabilize an uncertain system with strictly negative imaginary uncertainty. An example is provided to illustrate the proposed results, for the purpose of stabilizing an uncertain system.

연구 동기 및 목표

• 패assing 및 양의 실수(PR) 제어 이론의 한계를 해결하기 위해 상대 차수 ≤1로 제한되는 제약를 극복하고, 상대 차수까지 2까지 허용하는 음의 허수(NI) 시스템으로 이론을 확장한다.
• 기존 문헌의 격차를 해소하기 위해 상태 피드백 동치성에 대한 NI, OSNI, SSNI 시스템의 완전한 특성화를 제공하며, 혼합 상대 차수를 갖는 시스템까지 포함한다.
• 출력 및 입력 변환을 통해 NI 성질을 유지하면서, 상태 피드백을 통한 시스템의 NI화를 위한 구조적 방법을 개발한다.
• NI 상태 피드백 동치성 결과를 적용하여 엄밀히 음의 허수(SNI) 불확실성을 갖는 시스템을 강건하게 안정화하며, 점근적 안정성을 보장한다.

제안 방법

• 논문은 상대 차수 ≤2 및 약한 최소 위상 성질을 갖는 형태로 시스템을 변환하기 위한 출력 변환을 도입하며, 이는 NI 상태 피드백 동치성의 필요 및 충분 조건이다.
• 비특이 출력 변환에 대해 NI 성질이 유지됨을 증명하며, 추가적인 입력 변환을 통해 보상함으로써 시스템의 구조와 피드백 성질을 유지한다.
• 변환된 시스템 동역학에서 유도된 상태 피드백 제어 법칙을 사용하며, 피드백 이득에 대한 명시적 공식을 시스템 행렬과 변환 파라미터의 형태로 제공한다.
• 선형 행렬 부등식(LMIs)을 통한 NI 렘마를 적용하여 변환된 시스템의 NI 성질을 검증하며, 모든 ω ≥ 0 에 대해 헤르미트 허수 부분이 음의 준정부정임을 보장한다.
• 강건한 안정화를 위해 닫힌 루프 DC 이득 조건 λ_max(R(0)Δ(0)) < 1 이 충족됨을 보장하며, NI 컨트롤러 안정성 기준을 활용한다.
• 수치 예제를 통해 전 과정을 시연한다: 시스템 변환, 피드백 이득 계산, 그리고 극의 위치와 DC 이득 분석을 통한 점근적 안정성 검증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원점에 영점이 없는 최소 LTI 시스템이 상태 피드백 제어를 통해 음의 허수로 변환될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 출력 변환이 NI 시스템과의 상태 피드백 동치성에 미치는 영향은 무엇이며, 이러한 변환 하에서 NI 성질은 유지되는가?
• RQ3 상태 피드백 동치성에 대한 NI, OSNI, SSNI 시스템의 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 제안된 방법은 엄밀히 음의 허수(SNI) 불확실성을 갖는 불확실한 시스템을 강건하게 안정화할 수 있으며, 점근적 안정성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 기존 연구가 균일한 상대 차수를 가정한 반면, 이 방법은 상대 차수 1과 2를 모두 갖는 혼합 상대 차수를 갖는 시스템을 어떻게 다루는가?

주요 결과

• 최소 LTI 엄밀히 정상 시스템은 상대 차수 ≤2 및 약한 최소 위상 성질을 갖는 시스템으로 출력 변환될 수 있을 때에만 상태 피드백 동치성으로 NI 시스템이 된다.
• 시스템이 OSNI 시스템과 상태 피드백 동치성이 되기 위한 필요 및 충분 조건은 NI 시스템과의 상태 피드백 동치성과 동일하며, 이는 두 클래스 간의 동치성을 수립한다.
• 시스템이 SSNI 시스템과 상태 피드백 동치성이 되기 위한 필요 및 충분 조건은 상대 차수 벡터 {1,…,1} 이며 최소 위상 성질을 가져야 한다.
• 수치 예제에서 닫힌 루프 시스템은 모든 극이 열린 좌측 반평면에 위치하며, 모든 ω>0 에 대해 j[R(jω)−R(jω)∗]≥0 를 만족함으로써 NI 성질을 확인한다.
• 명시적 닫힌 루프 시스템의 DC 이득은 R(0) = [[0.25, 0.25], [0.25, 0.5]] 이며, λ_max(R(0)) = 0.6545 이다. 이는 λ_max(R(0)Δ(0)) < 1 을 보장하며, 따라서 SNI 불확실성 하에서 점근적 안정성을 확보한다.
• 제어 입력은 u = [[0, -3, -1, -2], [-3, -6, 14.5, -1.5]]x + [[1, 1], [0, -1]]v 로 명시적으로 계산되며, 이는 변환된 시스템에서 NI 행동을 달성한다.