[논문 리뷰] Necessary conditions for linear convergence of Picard iterations and application to alternating projections

D. Lüke, Nguyen Hieu Thao외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 28.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 22인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 사상이 비비폭성 조건을 위반할 때 피카르 반복에서 선형 수렴이 이루어지기 위한 필수 조건을 규명한다. 이는 다양한 형태의 단조성에 대해 고정점 사상의 거리 하위정규성(subregularity)이 필요하다는 것을 보여주며, 교차하는 사영의 경우에 적용하면, 수렴이 R-선형일 때 집합들의 하위전이성(subtransversality)이 필요하다는 것을 의미한다. 이는 하위전이성이 이러한 수렴에 있어 근본적인 조건일 것이라는 추측을 이끌어낸다.

ABSTRACT

We present necessary conditions for monotonicity, in one form or another, of fixed point iterations of mappings that violate the usual nonexpansive property in some quantifiable way. We show that most reasonable notions of linear-type monotonicity of fixed point sequences imply metric subregularity of the fixed point mapping. This is specialized to the alternating projections iteration where metric subregularity of the fixed point mapping takes on the distinct geometric property of subtransversality of sets at points of intersection. We show the necessity of subtransversality for a number of reasonable types of sequential monotonicity, under varying degrees of assumptions on the regularity of the sets. Based on the results we obtain, we conjecture that subtransversality is necessary for R-linear convergence to fixed points of iterates of the alternating projections sequence.

연구 동기 및 목표

• 사상이 비비폭성이 아닐 때 고정점 반복의 단조성에 대한 필수 조건을 규명하기 위해.
• 피카르 반복의 순차적 단조성과 고정점 사상의 거리 하위정규성 간의 연관성을 맺기 위해.
• 이러한 결과를 교차 사영에 적용하여 하위전이성의 기하학적 의미를 드러내기 위해.
• 교차 사영에서 R-선형 수렴에 하위전이성이 필수적인지 조사하기 위해.
• 이 맥락에서 하위전이성이 R-선형 수렴을 위한 근본적인 조건일 것이라는 추측을 내기 위해.

제안 방법

• 정량적 위반 척도를 사용하여 비비폭성 조건이 약화된 조건 하에서 고정점 반복을 분석하기 위해.
• 반복 수열에서 다양한 유형의 선형 유형 단조성에 대한 필수 조건을 유도하기 위해.
• 그러한 단조성이 고정점 사상의 거리 하위정규성으로 이어진다는 것을 확립하기 위해.
• 거리 하위정규성을 교차 사영의 맥락에서 기하적 성질로 번역하기 위해.
• 거리 하위정규성이 교차점에서 집합들의 하위전이성과 대응됨을 규명하기 위해.
• 집합들에 대한 규칙성 가정을 도입하여 필요 조건 결과를 강화하고 추측을 뒷받침하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 피카르 반복의 선형 수렴이 고정점 사상의 거리 하위정규성을 암시할 조건은 무엇인가요?
• RQ2 거리 하위정규성은 교차 사영의 맥락에서 기하학적 성질과 어떻게 관련이 있나요?
• RQ3 합리적인 규칙성 가정 하에, 교차 사영의 R-선형 수렴에 하위전이성이 필수적인가요?
• RQ4 고정점 수열의 어떤 유형의 순차적 단조성이 집합들의 하위전이성을 요구하는가요?
• RQ5 하위전이성이 교차 사영에서 R-선형 수렴을 위한 필수 조건인지, 만약 그렇다면 어떤 가정 하에 성립하는가요?

주요 결과

• 비비폭성이 정량적으로 위반될 경우, 피카르 반복에서 고정점 수열의 단조성이 고정점 사상의 거리 하위정규성을 암시한다.
• 교차 사영의 맥락에서, 고정점 사상의 거리 하위정규성은 집합들이 교차점에서 하위전이성을 띠는 것과 동치이다.
• 집합들에 대한 다양한 규칙성 가정 하에, 여러 유형의 순차적 단조성에 하위전이성이 필수적임이 입증되었다.
• 결과들은 하위전이성이 교차 사영의 R-선형 수렴을 위한 필수 조건일 것이라는 추측을 지지한다.
• 논문은 수렴 행동과 기하학적 구조 사이에 강력한 연결고리를 확립하였으며, 하위전이성을 선형 수렴의 핵심 요소로 위치시켰다.