[논문 리뷰] New congruences involving Apéry-like numbers

Zhi-Hong Sun|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 15.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 30인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 중심 이항계수를 포함하는 초함수적 합으로 유도된 두 Apéry-유사 수열 $G_n$ 및 $V_n$에 대한 새로운 초합동식을 수립한다. 재귀관계와 조합적 항등식을 사용하여, 홀수 소수 $p > 3$에 대해 $G_{p-1} \equiv (-1)^{(p-1)/2} 256^{p-1} \pmod{p^2}$ 및 $V_{p-1} \equiv 256^{p-1} \pmod{p^3}$를 증명하며, 이와 함께 이항계수로 가중된 $G_n$ 및 $V_n$의 합에 대한 새로운 합동식을 $p^2$ 또는 $p^3$ 모듈로로 제시한다. 이러한 결과는 모듈라 형식 및 $1/\pi$에 대한 Ramanujan-유사 급수의 맥락에서 알려진 초합동 패tern을 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we present many congruences for several Apéry-like sequences.

연구 동기 및 목표

• 홀수 소수 $p > 3$에 대해 $G_n = \sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}^2 \binom{2n-2k}{n-k} 4^{n-k}$의 Apéry-유사 수열에 대한 새로운 합동식을 유도하는 것, 특히 $p^2$ 모듈로에서의 성질을 중심으로 한다.
• $V_n = \sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}^2 \binom{2n-2k}{n-k}^2$의 성질을 조사하는 것, 재귀관계 및 $p^3$ 모듈로에서의 합동식을 포함한다.
• $G_n$ 및 $V_n$ 수열과 이중 이차형식에 의한 소수 표현, 예를 들어 $p = x^2 + 4y^2$ 또는 $p = x^2 + 2y^2$ 사이의 관계를 설정하는 것.
• $\binom{2n}{n}$을 포함하는 $G_n$ 및 $V_n$의 가중된 합에 대한 초합동식을 증명하는 것, 예를 들어 $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{G_n}{16^n} \equiv 0 \pmod{p^2}$이며, 이를 클래스 수 또는 야코비 기호 조건과 연결하는 것.
• $S_n$, $f_n$, $Q_n$ 등의 수열에 대한 기존 결과를 확장하여, 특히 $\sum_{n=1}^{p-1} \frac{nS_n}{8^n} \equiv 0 \pmod{p^2}$ 및 $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{Q_n}{(-8)^n} \equiv 1 \pmod{p^2}$와 같은 $p^2$ 및 $p^3$ 모듈로에서의 새로운 합동식을 증명하는 것.

제안 방법

• $G_n$에 대한 두 번째 차수 선형 재귀를 유도한다: $(n+1)^2 G_{n+1} = (32n(n+1) + 12) G_n - 256n^2 G_{n-1}$, 이는 제2종 Apéry-유사 수열임을 확인한다.
• $V_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{k} (-16)^{n-k} G_k$의 생성함수 항등식을 사용하여 $V_n$과 $G_k$ 사이의 관계를 설정하고, 합동성 성질의 이행을 가능하게 한다.
• $f_n$, $a_n$, $S_n$에 대한 알려진 초합동식 결과, 예를 들어 $f_{p-1} \equiv 1 + 3p q_p(2) \pmod{p^2}$ 및 $a_{p-1} \equiv \left(\frac{p}{3}\right)(1 + 2p q_p(3)) \pmod{p^2}$를 활용하여 $Q_n$에 대한 새로운 합동식을 도출한다.
• $p^2$ 모듈로에서의 루카스 유사 항등식 및 이항계수 합, 예를 들어 $\sum_{n=k}^{p-1} \binom{n}{k} \equiv \frac{p}{k+1} \binom{p-1}{k} \pmod{p^2}$를 사용하여 가중된 합을 단순화한다.
• $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{Q_n}{(-8)^n} = \sum_{k=0}^{p-1} \frac{f_k}{(-8)^k} \sum_{n=k}^{p-1} \binom{n}{k}$의 항등식을 사용하고, 알려진 $f_k$의 $p$-진 전개를 이용해 $p^2$ 모듈로로 단순화한다.
• $Q_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-8)^{n-k} f_k$의 변환을 적용하고, $f_k \equiv (-8)^k f_{p-1-k} \pmod{p}$라는 사실을 활용하여 $p^2$ 모듈로에서의 합을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $p > 3$인 소수에 대해 $G_n$이 $p^2$ 모듈로에서 만족하는 초합동식은 무엇이며, 특히 $G_{p-1} \pmod{p^2}$의 값은 무엇인가요?
• RQ2 $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{G_n}{16^n}$과 같은 $G_n$의 가중된 합은 $p^2$ 모듈로에서 어떻게 행동하며, 이는 $G_n$의 산술적 구조에 대해 무엇을 드러내나요?
• RQ3 $V_n$과 $G_n$ 사이의 관계는 무엇이며, 이를 통해 $V_{p-1} \equiv 256^{p-1} \pmod{p^3}$를 유도할 수 있는가요?
• RQ4 $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{G_n}{128^n} \binom{2n}{n}$은 $p = x^2 + 2y^2$ 형태의 표현을 통해 어떻게 표현될 수 있으며, 이 합의 $p^2$ 모듈로에서의 값은 얼마인가요?
• RQ5 $\sum_{n=1}^{p-1} \frac{nS_n}{8^n} \pmod{p^2}$의 행동은 어떠하며, 추측된 바와 같이 $p^3$ 모듈로에서 보다 정밀한 합동식을 만족합니까?

주요 결과

• 모든 소수 $p > 3$에 대해 $G_{p-1} \equiv (-1)^{(p-1)/2} 256^{p-1} \pmod{p^2}$이며, 이는 $G_{p-1}$의 값이 레이지드 기호와 소수의 4로 나눈 나머지와 연결됨을 보여준다.
• $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{G_n}{16^n} \equiv 0 \pmod{p^2}$이며, 이는 $p^2$ 모듈로에서 $16^{-n}$으로 가중된 $G_n$의 합이 0이 됨을 나타낸다.
• $p \equiv 1 \pmod{4}$이고 $p = x^2 + 4y^2$일 경우 $G_{(p-1)/2} \equiv 4x^2 - 2p \pmod{p^2}$이며, 그 외의 경우 $0 \pmod{p^2}$이다. 이는 $G_n$이 이중 이차형식과 연결됨을 보여준다.
• $p \equiv 1,3 \pmod{8}$이고 $p = x^2 + 2y^2$일 경우 $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{\binom{2n}{n} G_n}{128^n} \equiv 4x^2 - 2p \pmod{p^2}$이며, 그 외의 경우 $0 \pmod{p^2}$이다.
• $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{\binom{2n}{n} n G_n}{128^n} \equiv 0 \pmod{p^2}$이며, 이는 $n$ 계수로 가중된 수열의 합이 $p^2$ 모듈로에서 0이 됨을 나타낸다.
• $p \equiv 1 \pmod{3}$이고 $p = x^2 + 3y^2$일 경우 $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{\binom{2n}{n} G_n}{48^n} \equiv 4x^2 - 2p \pmod{p^2}$이며, 그 외의 경우 $0 \pmod{p^2}$이다.