[논문 리뷰] New Criteria of Generic Hyperbolicity based on Periodic Points

Armando Castro|arXiv (Cornell University)|2009. 06. 12.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유일한 조건으로 주기점의 비균일한 혼돈성(NUH)에 기반하여 $C^1$ 미분구상과 국소 미분구상에서의 균일한 하이퍼볼리시티에 대한 새로운 일반 기준을 수립한다. 주기점 집합이 비균일 하이퍼볼릭인 잔여 집합의 미분구상에서, 기존의 색인 기반 기준보다 더 약한 조건을 갖는다. 이는 비가역적 버전의 에르고딕 닫힘 렘마를 활용하여, 이러한 시스템이 일반적으로 Axiom A이자 균일하게 하이퍼볼릭임을 증명한다.

ABSTRACT

We prove a criteria for uniform hyperbolicity based on the periodic points of the transformation. More precisely, if a mild (non uniform) hyperbolicity condition holds for the periodic points of any diffeomorphism in a residual subset of a $C^1$-open set $\SU$ then there exists an open and dense subset $\SA\subset \SU$ of Axiom A diffeomorphisms. Moreover, we also prove a noninvertible version of Ergodic Closing Lemma which we use to prove a counterpart of this result for local diffeomorphisms. As a simple corollary of our techniques, we have that an arbitrary $\mathrm{C}^1$-class local diffeomorphism $f$ of a closed manifold $M^n$ is uniformly expanding on the closure $\mathrm{Cl}_{M^n}(\mathrm{Per}(f))$ of its periodic point set $\mathrm{Per}(f)$, if it is nonuniformly expanding on $\mathrm{Per}(f)$.

연구 동기 및 목표

• 균일한 하이퍼볼리시티에 대한 일반 조건을 주기점의 행동에만 의존하도록 수립하여 강력한 색인 가정을 피하는 것.
• 비가역적 엔도모르피즘(국소 미분구상)으로의 에르고딕 닫힘 렘마의 확장하여, 비가역적 환경에서의 약한 색인을 가능하게 하는 것.
• NUH 주기점이 있는 $C^1$-오픈 집합의 잔여 부분집합이 Axiom A 미분구상으로 구성되어 있음을 증명하는 것.
• 주기점이 NUH일 경우, 이러한 시스템의 에르고딕 측도가 페르투르베이션과 연속성의 논리를 통해 주기 측도의 약한-* 수렴으로 근사 가능함을 보이는 것.

제안 방법

• 저자는 미분구상의 $C^1$-오픈 집합 $\mathcal{U}$를 정의하고, 주기점 집합이 비균일 하이퍼볼릭(NUH)인 잔여 부분집합을 고려한다.
• 에르고딕 닫힘 렘마(엔도모르피즘으로 확장됨)를 사용하여, 임의의 에르고딕 측도가 인접한 시스템의 주기 측도의 약한-* 수렴임을 보인다.
• 주기점의 하이퍼볼리시티를 확보하기 위해 시스템을 페르투르베이션하고, 주기 측도의 폐쇄 사상 $\Upsilon$의 하부 연속성에 기반하여 측도의 수렴을 확립한다.
• 증명은 에르고딕 분해 정리와 궤도를 따라의 경험 측도의 약한-* 수렴이 에르고딕 극한으로의 수렴을 기반으로 한다.
• 핵심 기법은 일반적인 점 $x$의 궤도를 $\epsilon_k/3$-색인하는 하이퍼볼릭 주기점 $p_k$를 갖는 근접한 미분구상 $g_k$의 수열을 구성하는 것이다. 이는 불변 측도의 수렴을 보장한다.
• 비가역적 경우를 위해, 비가역 버전의 에르고딕 닫힘 렘마를 증명함으로써 엔도모르피즘으로의 확장을 달성한다. 이는 비가역적 환경에서 필수적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강력한 색인 성질을 가정하지 않고, 주기점의 하이퍼볼리시티만으로 균일한 하이퍼볼리시티를 일반적으로 특징지을 수 있는가?
• RQ2 엔도모르피즘에서 일반 궤도를 주기점이 약한 색인으로 근사할 수 있는 비가역적 버전의 에르고딕 닫힘 렘마가 존재하는가?
• RQ3 NUH 주기점 집합을 갖는 $C^1$ 미분구상의 집합이 잔여인가? 이는 일반적으로 균일한 하이퍼볼리시티를 암시하는가?
• RQ4 주기점이 NUH이고 하이퍼볼릭일 경우, 에르고딕 측도가 약한-* 위상에서 주기 측도로 근사 가능한가?
• RQ5 주기 측도의 폐쇄가 모든 불변 측도의 집합과 일치하는 조건은 무엇인가? 이는 Axiom A의 구조를 암시하는가?

주요 결과

• NUH 주기점을 갖는 $C^1$-오픈 집합 $\mathcal{U}$의 잔여 부분집합은 Axiom A 미분구상으로 구성되어 있다.
• 비가역적 버전의 에르고딕 닫힘 렘마는 $C^1$ 비특이 엔도모르피즘에서 성립하며, 일반 궤도의 약한 색인을 가능하게 한다.
• 잔여 집합에 속한 시스템의 임의의 에르고딕 측도는 인접한 시스템의 주기 측도의 약한-* 수렴이다. 이는 불변 측도의 집합이 주기 측도의 닫힌 볼록 hull임을 보장한다.
• $\Upsilon(f) = \overline{\mathcal{M}_{\text{per}}(f)}$는 하부 연속이며, $\mathcal{U}$의 잔여 부분집합 내에서 $\Upsilon$의 연속점이 존재한다.
• 이 연속점 $f$에 대해, 불변 측도의 집합 $\mathcal{M}_1(f)$는 $f$-에르고딕 측도의 닫힌 볼록 hull이며, 이 측도들은 주기 궤도 위에 지지된다.
• 결과적으로, 주기점 집합이 NUH라는 유일한 가정 하에 $\mathcal{U}$에서 균일한 하이퍼볼리시티가 일반적임을 암시한다. 이는 전체 색인 성질을 요구하지 않는다.