[논문 리뷰] New Families of $p$-ary Sequences of Period $\frac{p^n-1}{2}$ With Low Maximum Correlation Magnitude

Wijik Lee, Ji-Youp Kim외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 10.

Coding theory and cryptography참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $p \equiv 3 \pmod{4}$인 홀수 소수 $p$ 와 홀수 $n$ 에 대해 주기 $N = \frac{p^n - 1}{2}$ 인 두 개의 새로운 $p$-진 수열 가족을 구성한다. 수열들은 이동량 $d = 4$ 와 $d = N+1$ 를 갖는 $p$-진 m-수열의 분할된 결과로 유도되며, Weil 부등식을 이용해 최대 상관관계 크기를 $\frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{N + \frac{1}{2}} + \frac{1}{2}$ 로 경계짓고, 가족 크기는 $4N$ 으로 나타난다. 이는 반주기 $p$-진 수열의 상관관계 성질에 있어 상당한 향상이다.

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime such that $p \equiv 3\;{ m mod}\;4$ and $n$ be an odd integer. In this paper, two new families of $p$-ary sequences of period $N = \frac{p^n-1}{2}$ are constructed by two decimated $p$-ary m-sequences $m(2t)$ and $m(dt)$, where $d = 4$ and $d = (p^n + 1)/2=N+1$. The upper bound on the magnitude of correlation values of two sequences in the family is derived using Weil bound. Their upper bound is derived as $\frac{3}{\sqrt{2}} \sqrt{N+\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$ and the family size is 4N, which is four times the period of the sequence.

연구 동기 및 목표

• CDMA 및 암호화 응용 분야에서 낮은 최대 상관관계 크기를 갖는 새로운 $p$-진 수열 가족을 구성하기 위해.
• 반주기 $p$-진 수열에서 더 큰 가족 크기가 요구됨을 해결하기 위해, 이는 더 높은 시스템 용량을 제공하기 때문이다.
• 기존의 분할된 m-수열 기반 구성법을 확장하여 하이브리드 Weil 부등식을 활용해 개선된 상관관계 경계를 달성하기 위해.
• 유한체 위의 지수합과 캐릭터합을 이용해 상관관계 크기의 엄밀한 상한을 제공하기 위해.
• 제안된 가족이 $4N$ 의 가족 크기를 갖는다는 것을 입증하여 실용적 유용성을 향상시키기 위해.

제안 방법

• 수열들은 이동 및 덧셈을 거친 분할된 $p$-진 m-수열 $m(2t)$ 와 $m(dt)$ 의 조합을 통해 구성되며, $d = 4$ 와 $d = N+1 = \frac{p^n + 1}{2}$ 이다.
• 상관관계 성질 분석은 덧셈적 및 이차 곱셈적 캐릭터를 포함하는 하이브리드 지수합에 대한 Weil 부등식을 이용한다.
• 핵심 단계는 교차상관함수를 $\mathbb{F}_q^*$ 상에서의 합으로 표현하고, 표준 지수합과 이차 캐릭터 $\eta(x)$ 로 가중된 합으로 두 부분으로 분해하는 것이다.
• 최종 상한을 도출하기 위해 Theorem 4(하이브리드 합에 대한 Weil 부등식)를 적용하여 $\left| \sum \omega^{\text{Tr}(ax)} \right| \leq \sqrt{q}$ 와 $\left| \sum \eta(x)\omega^{\text{Tr}(ax)} \right| \leq \sqrt{q}$ 를 유도하고, 이를 바탕으로 상한을 도출한다.
• $d = N+1$ 의 경우, $x = y^2$ 또는 $x = -y^2$ 로 치환함으로써 형태가 변형되며, 이는 구조를 유지하고 동일한 상한 유도 과정을 재사용할 수 있도록 한다.
• 가족 크기가 $4N$ 임을 증명하기 위해, 두 수열이 순환적으로 동치가 아니라는 것을 보이며, 그렇지 않으면 교차상관관계가 $N$ 이 되어 유도된 상한을 초과하게 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반주기 $N = \frac{p^n - 1}{2}$ 에 대해 저상관성과 큰 가족 크기를 갖는 새로운 $p$-진 수열 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 수열에 대해 교차상관 및 자가상관 값의 최대 크기에 대한 가장 날카운 상한은 무엇인가?
• RQ3 하이브리드 지수합에 대한 Weil 부등식이 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 인 $p$-진 수열의 상관관계 상한 유도에 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ4 분할 인자 $d = 4$ 와 $d = N+1$ 의 선택이 유도된 수열 가족의 상관관계 성질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 하향 최적 상관관계 상한을 유지하면서도 가족 크기를 $4N$ 으로 달성하는 것은 가능한가?

주요 결과

• 제안된 수열 가족의 상관관계 값 최대 크기는 $\frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{N + \frac{1}{2}} + \frac{1}{2}$ 로 경계되며, 이는 이전 구성보다 더 날카럽다.
• 가족 크기는 $4N$ 으로, 수열 주기의 네 배이며, CDMA 응용에서 시스템 용량을 크게 향상시킨다.
• $p = 3$, $n = 13$ 인 경우, 정규화된 최대 상관관계 $C_{\text{max}} / \sqrt{N} \approx 2.1650$ 이며, 상관관계 값은 오직 5개의 서로 다른 값만 존재한다.
• $p = 7$, $n = 9$ 인 경우, 정규화된 최대 상관관계는 $2.1214$ 이며, 서로 다른 값은 오직 6개뿐이어서 강한 상관관계 집중 현상을 보인다.
• 상한은 덧셈적 및 곱셈적 캐릭터의 하이브리드 합에 대한 Weil 부등식을 통해 도출되었으며, 특히 이차 캐릭터 $\eta(x)$ 를 포함한다.
• 이 구성은 모든 홀수 소수 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 와 홀수 정수 $n$ 에 대해 유효하므로, 코드 이론 및 통신 분야에서 넓은 적용 가능성을 지닌다.