[논문 리뷰] New Methods in Coding Theory: Error-Correcting Codes and the Shannon Capacity

Sven Polak|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 06.

graph theory and CDMA systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 군 작용, 텐서곱, 대칭 설계를 이용한 오류 수정 부호를 구성하기 위한 새로운 대수적 프레임워크를 제안한다. 샤논 용량과 넷 이론을 활용하여 대칭 $(\mu,q)$-넷과 크기 $\mu q^2$인 $(n,d)_q$-부호 사이의 1:1 대응을 수립함으로써, 조합론적 및 표현 이론적 기법을 통해 새로운 상계 $A_4(9,6) \leq 120$를 도출한다.

ABSTRACT

In this thesis we present several results in coding theory, concerning error-correcting codes and the Shannon capacity. 1. We give a general symmetry reduction of matrices occuring in semidefinite programs in coding theory. 2. We apply the symmetry reduction to efficiently compute semidefinite programming upper bounds for nonbinary error-correcting codes equipped with the Hamming distance (joint work with Bart Litjens and Lex Schrijver), with the Lee distance and for binary constant weight codes. 3. We explore other methods to find new upper bounds for nonbinary codes with the Hamming distance, based on combinatorial divisibility arguments. 4. We study uniqueness and classification of codes, using the output of the semidefinite programming solver. Most of our classification results are related to subcodes of the binary Golay code. This is joint work with Andries Brouwer. 5. We consider the Shannon capacity of circular graphs. The circular graph $C_{d,q}$ is the graph with vertex set $\\mathbb{Z}_q$ (the cyclic group of order q) in which two distinct vertices are adjacent if and only if their distance (mod $q$) is strictly less than $d$. The Shannon capacity of $C_{d,q}$ can be seen to only depend on the fraction q/d. We prove that the function which assigns to each rational number $q/d$ the Shannon capacity of $C_{d,q}$ is continuous at integer points $q/d$. Moreover, we give a new lower bound on the Shannon capacity of the $7$-cycle. This is joint work with Lex Schrijver. This thesis was written at the University of Amsterdam under supervision of Lex Schrijver.

연구 동기 및 목표

• 다양한 군 작용 $G_i$가 집합 $Z_i$에 작용하는 방식을 일반화하여 부호 이론적 구성 방법을 확장한다.
• 크기 $\mu q^2$인 대칭 $(\mu,q)$-넷과 길이 $n = \mu q$, 최소 거리 $d = n - \mu$인 $(n,d)_q$-부호 사이의 대응 관계를 수립한다.
• 넷 이론과 조합적 제약 조건을 활용하여 $(9,6)_4$-부호의 최대 크기에 대한 새로운 상계를 유도한다.
• 텐서곱 분해와 대표 집합을 이용한 큰 인접 행렬을 줄이기 위한 계산 프레임워크를 개발한다.
• 크기 120인 $(9,6)_4$-부호가 31- 또는 32-블록을 포함할 수 없음을 증명함으로써 $A_4(9,6) \leq 120$임을 확인한다.

제안 방법

• 다중 군 대칭을 모델링하기 위해 $H = (G_1^{j_1} \rtimes S_{j_1}) \times \cdots \times (G_s^{j_s} \rtimes S_{j_s})$ 및 $R = Z_1^{j_1} \times \cdots \times Z_s^{j_s}$를 정의한다.
• $H$-오빗을 분해하기 위해 각 $i$에 대해 오빗 공간 $\Lambda_i^{j_i}/S_{j_i}$를 사용하여 $R^2$ 위의 $H$-오빗을 매개변수화한다.
• 기저 원소 $a_P \in W_i = (\mathbb{C}Z_i \otimes \mathbb{C}Z_i)^{G_i}$를 이용한 텐서곱을 통해 인접 행렬 $K_\omega = K_{\omega_1}^{(1)} \otimes \cdots \otimes K_{\omega_s}^{(s)}$를 구성한다.
• 대표 집합과 텐서곱 항등식을 활용하여 생성 행렬 $M(z) = \sum_{\omega \in R^2/H} z(\omega) K_\omega$ 의 크기를 줄인다.
• 효율적인 계산을 위해 항등식 $(u_1 \otimes \cdots \otimes u_s)^T (K_{\omega_1}^{(1)} \otimes \cdots \otimes K_{\omega_s}^{(s)}) (v_1 \otimes \cdots \otimes v_s) = \prod_{i=1}^s u_i^T K_{\omega_i}^{(i)} v_i$ 를 적용한다.
• 부호어를 $\{0,1\}$-벡터로 매핑하여 인cidenece 행렬 $M$을 구성하고, $MM^T = M^T M = A$ 를 확인함으로써 블록 행렬 구조(대각선에 $I_q$, 비대각선에 $J_q$ 블록)를 확인함으로써 대칭 넷의 구조를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 집합 $Z_i$ 위에 작용하는 다중 군 작용 $G_i$를 이용하여 거리와 크기가 제어된 오류 수정 부호를 구성할 수 있는가?
• RQ2 대칭 $(\mu,q)$-넷과 크기 $\mu q^2$인 $(n,d)_q$-부호 사이의 정확한 대응 관계는 무엇인가?
• RQ3 오빗 공간의 인접 행렬은 어떻게 분해되고 축소되어 다항식 크기의 표현으로 나타낼 수 있는가?
• RQ4 넷 이론적 제약 조건과 부호 블록 분석을 통해 $A_4(9,6)$에 대한 상계를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ5 크기 120인 $(9,6)_4$-부호가 31- 또는 32-블록을 포함할 수 있으며, 이는 최대 부호 크기에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 대칭 $(\mu,q)$-넷과 길이 $n = \mu q$, 최소 거리 $d = n - \mu$, 크기 $\mu q^2$인 $(n,d)_q$-부호 사이에 1:1 대응 관계가 수립된다.
• 이러한 부호의 인cidenece 행렬 $M$은 $MM^T = M^T M = A$ 를 만족하며, 여기서 $A$ 는 대각선에 $\mu q \cdot I_q$, 비대각선에 $\mu \cdot J_q$ 블록을 포함하는 블록 행렬이다.
• 이 구성은 $M$이 대칭 $(\mu,q)$-넷의 인cidenece 행렬임을 확인하며, 반대로 넷의 구조는 유효한 부호를 유도함을 보여준다.
• 기존의 대칭 $(2,4)$-넷에 관한 결과를 활용하여 논문은 $A_4(9,6) \leq 120$ 를 새로운 상계로 도출한다.
• 컴퓨터 보조 검증을 통해 크기 120인 $(9,6)_4$-부호가 31- 또는 32-블록을 포함하지 않음을 확인하여 더 큰 부호의 존재를 배제한다.
• 논문은 $qd = (q-1)n$ 인 $(n,d)_q$-부호가 크기 $qn - 1$일 경우 항상 크기 $qn$ 으로 확장 가능함을 증명함으로써 이 상계의 최대성(최대 크기)을 뒷받침한다.