[논문 리뷰] New modification of Maheshwari method with optimal eighth order of convergence for solving nonlinear equations

Somayeh Sharifi, Массимилиано Феррара외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 12.

Iterative Methods for Nonlinear Equations참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비선형 방정식을 해결하기 위한 최적의 여덟째 차수 다점 반복 방법의 새로운 가족을 제안한다. 이는 수정된 Maheshwari 방법을 기반으로 하며, 가중치 함수를 도입하고 도함수를 함수 값으로 근사화함으로써, 각 반복에서 네 번의 함수 평가와 한 번의 도함수 평가만으로도 여덟째 차수 수렴을 달성한다. 이는 Kung와 Traub의 최적 효율성에 대한 추측을 만족한다.

ABSTRACT

In this paper, we present a family of three-point with eight-order convergence methods for finding the simple roots of nonlinear equations by suitable approximations and weight function based on Maheshwari method. Per iteration this method requires three evaluations of the function and one evaluation of its first derivative. This class of methods has the efficiency index equal to $8^{\frac{1}{4}}\approx 1.682$. We describe the analysis of the proposed methods along with numerical experiments including comparison with existing methods.

연구 동기 및 목표

• 비선형 방정식을 해결하기 위한 여덟째 차수 수렴을 보이는 최적의 삼점 반복 방법의 새로운 클래스를 개발하기 위해.
• 주어진 함수 평가 횟수에 대해 다점 방법의 최대 가능 수렴 차수에 대한 Kung와 Traub의 추측을 충족하기 위해.
• 높은 수렴 차수를 유지하면서 도함수 평가 횟수를 줄이기 위해 근사화를 통해 효율성을 향상시키기 위해.
• 각 반복에서 네 번의 함수 평가와 한 번의 도함수 평가만으로도 최적의 효율성 지수 $8^{1/4} \approx 1.682$ 를 달성하는 방법을 구축하기 위해.
• 다양한 비선형 테스트 문제에 대한 수치 실험을 통해 이론적 수렴 차수와 효율성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 수렴 차수를 높이기 위해 14차 수렴을 보이는 Maheshwari 방법을 확장하고 추가로 뉴턴 단계를 적용하여 유도한다.
• 새로운 반복점 $z_n$ 에서 도함수를 평가하는 것을 피하기 위해, $f(x_n), f(y_n), f(z_n)$ 및 $f'(x_n)$ 를 포함하는 유리 함수를 사용하여 도함수 $f'(z_n)$ 를 근사한다.
• 근사화는 $s_n = f(z_n)/f(x_n)$ 인 가중치 함수 $H(s_n)$ 를 활용하며, 수렴의 여덟째 차수를 보장하기 위해 $H(0) = 1$ 및 $H'(0) = 2$ 조건을 만족시킨다.
• 이 방법은 세 단계의 중간 단계를 사용한다: $y_n = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$, $z_n = x_n + \frac{1}{f'(x_n)}\left(\frac{f^2(x_n)}{f(y_n)-f(x_n)} - \frac{f^2(y_n)}{f(x_n)}\right)$, 및 $x_{n+1} = z_n - \frac{f(z_n)}{f'(x_n)} F(x_n,y_n,z_n) H(s_n)$.
• 가중치 함수 $H(s_n)$ 는 수렴 행동을 제어하고, 함수 $f$ 의 특정 연속성 및 미분 가능성 조건 하에서 최적의 수렴 차수를 보장하도록 구성된다.
• 진짜 근 $x^*$ 를 중심으로 한 테일러 전개를 통해 수렴 분석을 수행하였으며, 이로 인해 여덟째 차수 수렴을 보여주는 오차 방정식을 도출하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 방정식을 해결하기 위한 삼점 반복 방법을 여덟째 차수 수렴과 최적 효율성으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 수렴 차수를 훼손하지 않고도 새로운 반복점에서의 도함수 평가를 피할 수 있는가?
• RQ3 가중치 함수 $H(s_n)$ 가 여덟째 차수 수렴을 달성하기 위해 만족해야 할 조건은 무엇인가?
• RQ4 제안된 방법이 주어진 함수 평가 횟수에 대해 Kung와 Traub의 추측에 따라 최대 수렴 차수를 만족하는가?
• RQ5 실제로 기존의 최적의 여덟째 차수 방법과 비교했을 때, 수렴 속도와 안정성 측면에서 제안된 방법은 어떻게 성능을 보이는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 각 반복에서 네 번의 함수 평가와 한 번의 도함수 평가만으로도 여덟째 차수 수렴을 달성하며, 이로 인해 효율성 지수 $8^{1/4} \approx 1.682$ 를 얻는다.
• 오차 방정식 $e_{n+1} = \left(\frac{1}{2}c_2^2(4c_2^2 - c_3)(c_2^3 - 8c_2c_3 + 2c_4)\right)e_n^8 + O(e_n^9)$ 는 주어진 조건 하에서 여덟째 차수 수렴을 확인한다.
• 네 가지 테스트 함수에 대한 수치 실험 결과, 반복마다 정확한 자릿수의 수렴이 제곱형태로 나타나며, ACOC 값은 항상 8.0000 근처에 유지된다.
• 수렴 속도와 정확성 측면에서 기존의 최적의 여덟째 차수 방법과 비교해 볼 때, 제안된 방법은 빠른 $|x_k - x^*|$ 감소를 통해 뛰어난 성능을 보였다.
• 비선형 방정식이 약한 조건이거나 복잡한 경우에도 높은 정확도를 유지하며, 3~4회 반복 이내에 잔차 오차가 기계 정밀도 수준까지 감소한다.
• 초기 추정치나 테스트 함수의 종류에 관계없이 안정적인 성능을 보이며, 초월함수, 다항식, 혼합형 방정식을 포함한 다양한 유형의 방정식에 대해 실용적 적용 가능성을 확인하였다.