[논문 리뷰] New Permutation Trinomials Constructed from Fractional Polynomials

Kangquan Li, Longjiang Qu외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 20.

Coding theory and cryptography참고 문헌 15인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 유한체의 짝수 특성($\mathbb{F}_{2^{2k}}$)에서 여섯 개의 새로운 순열 삼항식 클래스와 특성 3($\mathbb{F}_{3^{2k}}$)에서 세 개를 구성한다. 이는 $h(x)$가 삼항식인 $x^r h(x)^{q-1}$에서 유도된 분수다항식을 사용하여 이루어지며, 주요 기여는 지수에 하나의 자유 매개변수가 있는 일반적인 매개변수 가족의 순열 삼항식을 제안함으로써 기존 결과를 확장하고, 단위근의 군 작용을 통한 새로운 구조적 통찰을 제공한다.

ABSTRACT

Permutation trinomials over finite fields consititute an active research due to their simple algebraic form, additional extraordinary properties and their wide applications in many areas of science and engineering. In the present paper, six new classes of permutation trinomials over finite fields of even characteristic are constructed from six fractional polynomials. Further, three classes of permutation trinomials over finite fields of characteristic three are raised. Distinct from most of the known permutation trinomials which are with fixed exponents, our results are some general classes of permutation trinomials with one parameter in the exponents. Finally, we propose a few conjectures.

연구 동기 및 목표

• 유한체의 짝수 및 홀수 특성에서 새로운 순열 삼항식 클래스를 구성하여 기존의 이러한 다항식 목록을 확장한다.
• 지수에 하나의 자유 매개변수가 있는 순열 삼항식을 구성하는 일반적인 프레임워크를 개발하여, 고정된 지수에 기반한 구성 방식을 넘어서 일반성을 높인다.
• 다음의 형식의 삼항식 $f(x) = x^r h(x^{q-1})$이 $\mathbb{F}_{q^2}$에서 순열 성질을 가지는지 분석하기 위해 $\mu_{q+1}$, 즉 $q+1$차 단위근의 곱셈군에 유도된 사상의 행동을 연구한다.
• 분수다항식 $g(x) = x^r h(x)^{q-1}$이 $\mu_{q+1}$에서의 행동에 기반한 새로운 이론적 도구와 추측을 제시한다. 특히 고차수 방정식의 경우에 초점을 맞춘다.

제안 방법

• 레마 1.1을 활용하여 $\mathbb{F}_{q^2}$에서 $f(x) = x^r h(x^{q-1})$의 순열 성질을 $\mu_{q+1}$에서 분수다항식 $g(x) = x^r h(x)^{q-1}$가 순열을 이루는 것으로 줄여서 증명한다.
• $h(x) \neq 0$임을 증명하여 $g(x)$가 이 군에서 잘 정의되어 있음을 보장한다.
• 체의 자기동형성질과 대칭 항등식(예: $\mu_{q+1}$에서 $x^q = x^{-1}$)을 사용하여 $g(x)$를 특성 2에 대해 $x^{r-n} \frac{x^n + x^{n-m} + 1}{1 + x^m + x^n}$ 형태의 유리함수로 단순화한다.
• $\mathbb{F}_q$에서 고차수 방정식(삼차, 사차)의 해의 개수를 분석하여 $g(x)$가 $\mu_{q+1}$에서 단사임을 입증함으로써 $\mathbb{F}_{q^2}$에서의 순열 성질을 보장한다.
• 작은 $k$ 값에 대해 Magma를 사용하여 계산적으로 결과를 검증하여 추측을 뒷받对方하고 이론적 프레임워크의 타당성을 입증한다.
• 기존의 정리들(예: Zieve의 기준, Lee-Park의 삼항식 조건)과 새로운 구성 방식을 비교하여, 새로운 클래스가 기존 프레임워크에서 다를 바 있는 구조적 조건을 가짐으로써 기존 틀에 포함되지 않음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수다항식 $x^r h(x)^{q-1}$의 형태를 사용하여 $\mathbb{F}_{2^{2k}}$ 및 $\mathbb{F}_{3^{2k}}$에서 새로운 일반적인 순열 삼항식 클래스를 구성할 수 있는가?
• RQ2 $f(x) = x^r h(x^{q-1})$의 순열 성질이 $g(x) = x^r h(x)^{q-1}$이 $\mu_{q+1}$에서의 행동으로 어떻게 줄여지며, 이 사상이 순열이 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 지수에 하나의 자유 매개변수가 있는 새로운 순열 삼항식의 가족이 기존의 고정된 지수를 가진 구성과는 다를 수 있는가?
• RQ4 $\mu_{q+1}$에서 $g(x)$의 분석 과정에서 발생하는 고차수 방정식은 체계적으로 해결될 수 있는가? 이를 통해 순열 행동을 증명할 수 있는가?
• RQ5 $\mathbb{F}_{3^{2k}}$에서의 새로운 순열 삼항식에 대한 제안된 추측은 타당한가? 그리고 이는 $\mu_{q+1}$에서의 유리함수의 순열로 환원될 수 있는가?

주요 결과

• 특성 2인 $\mathbb{F}_{2^{2k}}$에서 삼항식 $h(x) = 1 + x^m + x^n$에서 유도된 분수다항식을 사용하여 $r$과 $k$로 매개변수화된 여섯 개의 새로운 순열 삼항식 클래스를 구성하였다.
• 특성 3인 $\mathbb{F}_{3^{2k}}$에서 $f(x) = x^{lq + l + 1} + x^{(l+2)q + l - 1} - x^{(l-2)q + l + 3}$ 및 유사한 형태의 삼항식에 대해 세 개의 새로운 순열 삼항식 클래스를 구성하였으며, $k$와 $\gcd(2l+1, q-1) = 1$ 조건을 만족할 때 성립한다.
• 구성된 삼항식은 $h(x)$의 구조적 조건과 함수방정식 $(x^d h(1/x))^q = \beta h(x^q)$의 차이로 인해 기존의 클래스들(예: Lee-Park의 정리 4.4 또는 Zieve의 정리 4.5)과 곱셈적으로 동치가 아니다.
• Zieve의 기준에 의해 포함되지 않는 이유는 삼항식 $h(x) = 1 + x^m - x^n$이 요구되는 함수방정식 $(x^d h(1/x))^q = \beta h(x^q)$를 충족하지 않기 때문이다. 특히 특성 3에서는 이 조건이 성립하지 않으며.
• 추가로 $\mathbb{F}_{3^{2k}}$에서의 새로운 순열 삼항식에 대한 추측을 제안하였으며, $f(x) = x^{lq + l + 5} + x^{(l+5)q + l} - x^{(l-1)q + l + 6}$와 같은 형태로, $\gcd(5+2l, q-1) = 1$ 조건을 만족할 때 성립한다. 이는 $1 \leq k \leq 6$ 범위에서 계산적으로 검증되었다.
• 추측을 증명하는 데서 주요 과제는 $\mathbb{F}_q$에서 고차수 방정식(삼차, 사차)의 해의 개수를 결정하는 데 있다. 이는 $g(x)$가 $\mu_{q+1}$에서 단사임을 입증하는 데 필수적이다.