[논문 리뷰] New Presentations of Thompson's Groups and Applications

Uffe Haagerup, Gabriel Picioroaga|ArXiv.org|2008. 12. 01.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 톰슨 군 F, 그 교환자부군 F′, 그리고 중간 군 D에 대한 새로운 무한 표현을 제시한다. 이들 모두 동일한 관계식을 공유하지만 생성자 집합이 다르다. 이러한 표현을 바탕으로 저자들은 F′의 비용(cost)이 1임을 증명하며, 이는 F의 애매성 문제를 해결할 수 없음을 시사한다. 추가로 L(F′)는 내부 점근적으로 아벨임을 보이며, F의 축약 C*-대수는 잔여 유한차원적이지 않다.

ABSTRACT

We find new presentations for the Thompson's groups $F$, the derived group $F^{'}$ and the intermediate group $D$. These presentations have a common ground in that their relators are the same and only the generating sets differ. As an application of these presentations we extract the following consequences: the cost of the group $F^{'}$ is 1 hence the cost cannot decide the (non)amenability question of $F$; the $II_1$ factor $L(F^{'})$ is inner asymptotically abelian and the reduced $C^*$-algebra of $F$ is not residually finite dimensional.

연구 동기 및 목표

• 톰슨 군 F, F′, D에 대한 새로운 무한 표현을 제안하며, 동일한 관계식을 공유하지만 생성자 집합이 다른 표현을 제공한다.
• F′의 비용을 조사하고, 이가 F의 애매성에 미치는 영향을 탐구한다.
• 군 von Neumann 대수 L(F′)이 내부 점근적으로 아벨인지 여부를 규명한다.
• F의 축약 C*-대수의 잔여 유한차원성 여부를 분석한다.
• 새로운 표현이 정규부군과 군 불변량에 미치는 구조적 영향을 탐색한다.

제안 방법

• 공통된 관계식 집합을 사용하고 생성자 집합을 다양하게 하여 F, F′, D에 대한 새로운 무한 표현을 구성한다.
• F′의 새로운 표현을 바탕으로 가보아우의 비용 이론을 적용하며, 특히 무한 공轭 교집합을 갖는 증가합에서 비용이 유지됨을 활용한다.
• 내부 점근적 아벨성의 정의를 내부 \'-동형사슬을 통한 수열을 통해 적용하여 L(F′)가 성질 Γ보다 더 강한 성질을 만족함을 보인다.
• 반증을 통해 C*r(F)의 잔여 유한차원성을 증명한다: 충실한 유한차원 표현이 존재한다고 가정하면, 공액체 사슬을 통해 무한차원 대수가 유도된다.
• F′이 단순하고 비아벨임을 이용하여, 임의의 비자명한 정규부군은 반드시 F′을 포함함을 보이며, 따라서 비용이 1임을 도출한다.
• |i-j| ≥ 2 인 생성자 간의 교환관계 (g_i, g_j)를 이용하여 유한차원 대수에서 무한차원 공액체 사슬을 구성함으로써 모순을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 톰슨 군 F, F′, D에 대한 새로운 무한 표현은 무엇이며, 이들은 동일한 관계식을 공유하지만 생성자에서 어떻게 다를까?
• RQ2 F′의 비용이 1인지 여부는 무엇이며, 이는 F의 애매성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 II₁ 형식 L(F′)는 내부 점근적으로 아벨인가?
• RQ4 F의 축약 C*-대수는 잔여 유한차원적인가?
• RQ5 F의 모든 비자명한 정규부군의 비용은 1인가?

주요 결과

• 교환자부군 F′의 비용은 1이며, 이는 F의 애매성 문제를 비용만으로는 구분할 수 없음을 시사한다.
• II₁ 형식 L(F′)는 내부 점근적으로 아벨이며, 이는 McDuff나 성질 Γ보다 더 강력한 성질이다.
• F의 축약 C*-대수는 잔여 유한차원적이지 않으며, 이는 쿼지디아고날성보다는 약한 결과이지만 여전히 애매성 문제에 있어 중요한 의미를 가진다.
• F의 비자명한 정규부군은 모두 비용 1을 가진다. 이는 F′이 단순하고 비용 1이기 때문이다.
• 전체 C*-대수 C*(F) 역시 잔여 유한차원적이지 않다. 동일한 반증 논증을 유한차원 표현에 적용하여 이를 보였다.
• 비-RFD 성질의 증명은 유한차원 대수에서 무한공액체 사슬을 구성함으로써 이루어지며, 이는 대수가 무한차원이 아니면 모순이 발생함을 의미한다.