[논문 리뷰] New results in $\mathcal{N}=2$ theories from non-perturbative string

Giulio Bonelli, Alba Grassi외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 05.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 72인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비섭동(topological) 끈 이론을 확장하여 자기 dual $\Omega$-배경에서 $\mathcal{N}=2$ $SU(N)$ 초양민스키 이론에 대한 다중-컷 행렬 모형을 유도하며, Nekrasov 분할 함수를 등온단조 문제의 $\tau$-함수로 나타내는 스펙트럼 행렬식 표현을 제공한다. 주요 결과는 비섭동 보정을 포함한 $SU(N)$ 분할 함수에 대한 정확한 S-duality 변환을 도출하는 것이다.

ABSTRACT

We describe the magnetic phase of SU(N) $\mathcal{N}=2$ Super Yang-Mills theories in the self-dual Omega background in terms of a new class of multi-cut matrix models. These arise from a non-perturbative completion of topological strings in the dual four dimensional limit which engineers the gauge theory in the strongly coupled magnetic frame. The corresponding spectral determinants provide natural candidates for the tau functions of isomonodromy problems for flat spectral connections associated to the Seiberg-Witten geometry.

연구 동기 및 목표

• 비섭동(topological) 끈 이론 프레임워크를 $SU(2)$ 사례를 넘어서 $SU(N)$ $\mathcal{N}=2$ 초양민스키 이론에까지 확장하기 위해 노력한다.
• 강한 결합 상태의 자기 쌍대자기(magnetic phase)에서 게이지 이론 분할 함수의 행렬 모형 표현을 유도한다.
• Seiberg-Witten 기하학에 관련된 등온단조 문제의 $\tau$-함수로써 Nekrasov 분할 함수의 스펙트럼 행렬식 표현을 확립한다.
• $\Omega$-배경 매개변수 $\epsilon$ 에서 비섭동 보정을 포함한 $SU(N)$ 분할 함수에 대한 정확한 S-duality 변환을 계산한다.

제안 방법

• cgm2에서 제시한 일반화된 행렬 모형 규정에 따라 $Y^{N,0}$ 기하학에서의 비섭동 끈 이론을 완성한다.
• $N-1$ 개의 컷을 가진 다중-컷 행렬 모형을 유도하며, 이는 순간자 수 $M_1, \dots, M_{N-1}$ 과 $N$ 에 의존하는 스펙트럼 이동 $d_i, f_i$ 로 매개변수화된다.
• 행렬 모형에 이중 4차원 극한을 적용하여 자기 dual $\Omega$-배경에서의 $\mathcal{N}=2$ $SU(N)$ 게이지 이론 분할 함수를 도출한다.
• 분할 함수를 프레드홀름 연산자의 스펙트럼 행렬식으로 식별함으로써, 등온단조 문제의 $\tau$-함수와 연결한다.
• 스펙트럼 행렬식의 큰 $N$ 전개를 통해 고유도 자유 에너지 $F_g^D$ 를 계산한다.
• 스펙트럼 곡선의 이중성에 기반하여 행렬 모형을 이중 게이지 이론과 연결함으로써 정확한 S-duality 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비섭동(topological) 끈 이론을 $Y^{N,0}$ 기하학에 적용하여 자기 쌍대자기(magnetic phase)에서의 $\mathcal{N}=2$ $SU(N)$ 게이지 이론 분할 함수를 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 자기 dual $\Omega$-배경에서 $SU(N)$ $\mathcal{N}=2$ SYM의 Nekrasov 분할 함수를 계산하는 데 사용되는 다중-컷 행렬 모형의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 행렬 모형의 스펙트럼 행렬식은 Seiberg-Witten 곡선과 관련된 히친 시스템에 대한 등온단조 문제의 $\tau$-함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 행렬 모형 표현이 비섭동 이론 이론을 초월하여 $SU(N)$ Nekrasov 분할 함수에 대한 정확한 S-duality 변환을 도출할 수 있는가?
• RQ5 행렬 모형으로부터 계산된 고유도 자유 에너지 $F_g^D$ 는 무엇이며, 기존의 게이지 이론 결과와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• $SU(N)$ Nekrasov 분할 함수의 자기 쌍대자기 프레임에서는 순간자 수 $M_1, \dots, M_{N-1}$ 과 $N$ 에 따라 달라지는 스펙트럼 이동 $d_i, f_i$ 로 매개변수화된 $N-1$ 개의 컷을 가진 다중-컷 행렬 모형으로 주어진다.
• 분할 함수는 프레드홀름 연산자의 스펙트럼 행렬식으로 표현되며, 이는 Seiberg-Witten 곡선과 관련된 히친 시스템에 대한 등온단조 문제의 $\tau$-함수와 직접적인 연결을 제공한다.
• $SU(4)$의 경우, 행렬 모형은 고유도-0 자유 에너지 $F_0^D(T_1,T_2,T_3)$ 와 고유도 기여 $F_1^D, F_2^D$ 의 명시적 표현을 제공하며, dp1에서 알려진 게이지 이론 결과와 일치한다.
• 행렬 모형은 $\epsilon$-의존성 비섭동 보정을 포함한 $SU(N)$ Nekrasov 분할 함수의 비섭동 보정을 계산하며, 정확한 S-duality 변환을 포함한다.
• $SU(4)$의 경우 고유도-0 자유 에너지 $F_0^D$ 는 명시적으로 계산되었으며, $'$t Hooft 매개변수를 이중 주기와 일치시킴으로써 klemmlt의 게이지 이론 결과와 일치함을 보였다.
• 고유도 자유 에너지 $F_1^D$ 와 $F_2^D$ 는 행렬 모형에서 유도되었으며, $F_1^D$ 는 $T_1, T_2, T_3$ 에 대한 로그항과 유리함수항을 포함하고 있고, $F_2^D$ 는 모듈라이에 대한 역제곱항을 포함한다.