[논문 리뷰] Noether conservation laws issue from the gauge invariance of an Euler-Lagrange operator, but not a Lagrangian

G. Sardanashvily|ArXiv.org|2003. 02. 06.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 라그랑주 함수가 게이지 불변성이 없더라도, 오일러–라그랑ž 연산자의 게이지 불변성이 Noether 보존법칙을 유도할 수 있음을 밝힌다. 게이지 변환에 대한 오일러–라그랑ž 연산자의 리 미분을 분석하고, 제1 변분 공식을 활용하여, 변분적으로 자명한 라그랑주 함수를 통해 오직 연산자의 게이지 불변성만으로도 약한 보존법칙이 도출됨을 보여주며, 표준 라그랑주 불변성 외적으로 노터 정리의 일반화를 이룬다.

ABSTRACT

As is well known, there are different Lagrangians which lead to the same Euler-Lagrange operator. The gauge invariance of a Lagrangian guarantees that of the corresponding Euler-Lagrange operator, but not vice versa. We show that the gauge invariance of an Euler-Lagrange operator, but not a Lagrangian results in Noether conservation laws.

연구 동기 및 목표

• 라그랑주 함수 자체의 불변성 대신 오일러–라그랑주 연산자의 게이지 불변성에서 노터 보존법칙이 유도될 수 있는지 조사하는 것.
• 라그랑주 함수의 게이지 불변성, 그 오일러–라그랑주 연산자, 그리고 도출되는 보존법칙 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 오일러–라그랑주 연산자의 게이지 불변성만으로도 보존법칙을 유도할 수 있는 조건을 규명하여 노터의 제1정리를 확장하는 것.
• 변분적으로 자명한 라그랑주 함수가 오일러–라그랑주 연산자의 수준에서 게이지 대칭성을 유지하는 데 어떤 역할을 하는지 기술하는 것.

제안 방법

• 적합한 좌표 $(x^\lambda, y^i, y^i_\lambda)$ 를 가진 제트 다양체 $J^1Y$ 와 $J^2Y$ 를 사용하여 매끄러운 섬유다발 $Y \to X$ 상에서의 일阶 장 이론을 체계화하는 것.
• 제1 변분 공식을 통해 오일러–라그랑주 연산자 $\mathcal{E}_L$ 를 정의하며, 이는 $\mathcal{E}_L = (\partial_i \mathcal{L} - d_\lambda \partial^\lambda_i)\mathcal{L} \theta^i \wedge \omega$ 로 표현된다.
• 제트 연장된 게이지 벡터장 $J^1u$ 沿해 리 미분 $\mathbf{L}_{J^1u}L$ 을 사용하여 불변성 성질을 분석하는 것.
• 제1 변분 공식 $\mathbf{L}_{J^1u}L = u_V \rfloor \mathcal{E}_L + h_0 d(u \rfloor H_L)$ 을 적용하여 리 미분을 기하학적 및 변분적 성분으로 분해하는 것.
• $\mathbf{L}_{J^2u}\mathcal{E}_L = 0$ 이다 ⇔ $\mathbf{L}_{J^1u}L$ 이 변분적으로 자명하다는 조건을 확립하는 것, 즉 $\mathbf{L}_{J^1u}L = h_0(\varphi)$ 이고 $\varphi$ 는 닫힌 $n$-형식이라는 조건.
• 해의 공간 $\text{Ker}\,\mathcal{E}_L$ 상에서 $0 \approx h_0 d(u \rfloor H_L - \sigma)$ 를 얻기 위해 $\varphi = d\sigma$ 일 때 약한 보존법칙을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라그랑주 함수가 게이지 불변성이 없더라도, 오일러–라그랑주 연산자의 게이지 불변성에서 노터 보존법칙을 도출할 수 있는가?
• RQ2 오일러–라그랑주 연산자의 게이지 불변성이 보존법칙을 유도하는 데 정확히 어떤 조건이 필요한가?
• RQ3 제1 변분 공식은 라그랑주 함수의 리 미분과 오일러–라그랑주 연산자, 그리고 보존법칙 간에 어떻게 연결되는가?
• RQ4 변분적으로 자명한 라그랑주 함수는 오일러–라그랑주 연산자의 게이지 불변성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 오일러–라그랑주 연산자의 게이지 불변성이 어떤 조건에서 해의 다양체 상에서 약한 보존법칙을 유도하는가?

주요 결과

• 오일러–라그랑주 연산자 $\mathcal{E}_L$ 의 게이지 불변성은 라그랑주 함수 $L$ 가 게이지 불변성이 아니더라도 노터 보존법칙의 존재를 암시한다.
• $\mathbf{L}_{J^2u}\mathcal{E}_L = 0$ 이 성립하는 것은 $\mathbf{L}_{J^1u}L$ 이 변분적으로 자명하다는 것과 동치이며, 즉 $\mathbf{L}_{J^1u}L = h_0(\varphi)$ 이고 $\varphi$ 는 $Y$ 상의 닫힌 $n$-형식이라는 조건이다.
• $\varphi = d\sigma$ 가 정확형일 때, 보존법칙은 해의 공간 $\text{Ker}\,\mathcal{E}_L$ 상에서 $0 \approx h_0 d(u \rfloor H_L - \sigma)$ 의 형태를 취한다.
• 라그랑주 함수 $L_0$ 가 변분적으로 자명한 경우 $L' = L + L_0$ 에 대해서도 동일한 보존법칙이 도출되므로, 라그랑주 함수의 동치성에 대해 불변함을 보여준다.
• 제1 변분 공식 $\mathbf{L}_{J^1u}L = u_V \rfloor \mathcal{E}_L + h_0 d(u \rfloor H_L)$ 은 게이지 대칭성과 보존법칙을 연결하는 기하학적 분해를 제공한다.
• 결과적으로 노터의 제1정리를 일반화하여, 보존법칙의 근원이 라그랑주 함수의 불변성보다는 오직 연산자의 게이지 불변성임을 보여준다.