[논문 리뷰] Non-Abelian Stokes theorem and quantized Berry flux

Alexander C. Tyner, Shouvik Sur외 5명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 11.

Topological Materials and Phenomena인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\pi$-회전, $\pi$-시간역전($\mathcal{PT}$), 또는 $SU(2)$ 대칭성을 갖는 시스템에서 두중도가 중첩된 밴드의 양자화된 비아벨 Berry 통량—특히 스핀-Chern 수—를 계산하기 위한 게이지 불변 방법을 제안한다. 이는 비아贝尔 스토크스 정리에 기반한 윌슨 루프에 적용된 방법으로, 제1계급 및 고차원(topological insulators and semimetals)의 위상적 분류를 가능하게 하며, 세부 대칭 정보나 밴드 기저 지식이 필요하지 않다. 주요 결과로는 모델 및 아비시노 시스템에서 $2\pi$ 및 $4\pi$ 양자화된 통량이 관측되었다.

ABSTRACT

Band topology of anomalous quantum Hall insulators can be precisely addressed by computing Chern numbers of constituent non-degenerate bands that describe quantized, Abelian Berry flux through two-dimensional Brillouin zone. Can Chern numbers be defined for $SU(2)$ Berry connection of two-fold degenerate bands of materials preserving space-inversion ($\mathcal{P}$) and time-reversal ($\mathcal{T}$) symmetries or combined $\mathcal{PT}$ symmetry, without detailed knowledge of underlying basis? We affirmatively answer this question by employing a non-Abelian generalization of Stokes' theorem and describe a manifestly gauge-invariant method for computing magnitudes of quantized $SU(2)$ Berry flux (spin-Chern number) from eigenvalues of Wilson loops. The power of this method is elucidated by performing $\mathbb{N}$-classification of \emph{ab initio} band structures of three-dimensional, Dirac materials. Our work outlines a unified framework for addressing first-order and higher-order topology of insulators and semimetals, without relying on detailed symmetry data.

연구 동기 및 목표

• 자기적 대칭이 없는 $\mathcal{PT}$ 대칭 시스템에서 두중도가 중첩된 밴드의 $SU(2)$ Berry 접속에 대해 게이지 불변 위상적 불변량을 정의하는 데 도전하는 문제를 해결하기 위해.
• 명시적인 기저 선택이나 거울 대칭 또는 스핀-회전 대칭과 같은 전역 대칭에 의존하지 않고, 양자화된 비아贝尔 Berry 통량(스핀-Chern 수)을 계산하기 위한 방법을 개발하기 위해.
• 아비시노 밴드 구조를 사용하여 3차원 디랙 물질에서 제1계급 및 고차원 위상 절연체와 세미메탈의 위상적 분류를 가능하게 하기 위해.
• 기존의 불변량(예: $Z_2$)이 실패할 경우에도 윌슨 루프 방법이 비트리비얼, 제1계급, 고차원 위상 상을 구별할 수 있는지 확인하기 위해.

제안 방법

• 비아贝尔 스토크스 정리의 일반화를 활용하여 윌슨 루프의 호로니( holonomy)를 $SU(2)$ 접속에서의 비아벨 Berry 통량의 크기와 연결한다.
• 비어터-스핀-스핀 접속 $A_{j,n,s,s'}(\mathbf{k}) = -i \psi_{n,s}^\dagger(\mathbf{k}) \partial_j \psi_{n,s'}(\mathbf{k})$에 대해, 운동량 공간에서 교차하지 않는 닫힌 경로를 따라 윌슨 루프를 계산하며, 경로 순서를 적용한다.
• 호로니는 $W_n = \exp[i \theta_n(k_0) \hat{\Omega}_n(k_0) \cdot \boldsymbol{\sigma}]$로 표현되며, 여기서 $\theta_n(k_0)$는 게이지 불변 각도로 통량 크기를 캡처한다.
• 윌슨 루프 행렬의 고유값에서 비아벨 통량의 크기를 추출하며, 서로 다른 위상적 상에서 $|2\pi|$ 또는 $|4\pi|$의 양자화가 관측된다.
• 이 방법은 타이트-버킹 모델과 나트륨 비소(Na$_3$Bi) 및 $\beta$-CuI와 같은 물질의 아비시노 밴드 구조에 적용되었으며, 하이브리드 와이너 중심과 폴리아코프 루프 스펙트럼을 사용해 검증되었다.
• 이 방법은 기저 변환에 대해 강건하며, 전역 스핀 정렬 축이나 거울 대칭의 식별이 필요하지 않다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기 대칭이 없는 $\mathcal{PT}$ 대칭 시스템에서 두중도가 중첩된 밴드에 대해 게이지 불변의 양자화된 비아벨 Berry 통량을 정의할 수 있는가?
• RQ2 윌슨 루프 방법이 밴드 기저나 전역 대칭에 대한 사전 지식 없이도 스핀-Chern 수를 신뢰성 있게 계산할 수 있는가?
• RQ3 이 방법은 3차원 디랙 물질에서 비트리비얼, 제1계급, 고차원 위상 절연체를 구별할 수 있는가?
• RQ4 비아벨 스토크스 정리는 아비시노 밴드 구조에 적용 가능하며, 위상 분류와 일치하는 양자화된 통량 값을 제공하는가?

주요 결과

• 윌슨 루프 방법은 모델 시스템에서 $2\pi$ 및 $4\pi$ 크기의 양자화된 비아벨 Berry 통량을 성공적으로 계산하여 위상적 양자화를 확인했다.
• Na$_3$Bi에서 $k_z=0$ 거울 평면은 간섭 없는 와이너 스펙트럼과 하이브리드 와이너 중심의 파트너 스위칭을 통해 확인된 비트리비얼 스핀-Chern 수 $2\pi$를 나타낸다.
• $C_6$ 및 $C_3$ 대칭 모델에서 $\Delta=2$일 경우 $2\pi$ 통량이 식별되었으며, $\Delta=4$일 경우는 비트리비얼 행동(4\pi 통량 없음)이 관측되었다.
• Na$_3$Bi의 고차원 위상 절연체 상은 첫 번째 호모토피 분류만으로는 비트리비얼 상과 구별되지 않으며, 윌슨 루프 스펙트럼과 폴리아코프 고유값의 동시 분석을 통해만 식별 가능하다.
• $\beta$-CuI에 대한 아비시노 계산은 디랙 점에서 표면에 국한된 상태가 존재하며, 위상적 표면 상태와 일치하는 스펙트럼 강도를 보이며, 윌슨 루프 방법의 실재 물질 적용을 검증한다.
• 이 방법은 Na$_3$Bi의 $k_z=0$ 평면가 제1계급 위상 절연체임을 드러내며, $Z_2$ 불변량으로 확인되었고, $|k_z|<k_D$ 평면은 고차원, $k_z=\pi/c$ 평면은 비트리비얼임이 스펙트럼 분석을 통해 확인되었다.