[논문 리뷰] Non-Associative Algebras and Quantum Physics -- A Historical Perspective

Manfred Liebmann, Horst Rühaak외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 07.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 51인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비결합 대수를 사용한 양자역학 일반화에 대한 역사를 검토하며, 파스콸 저니의 저니 대수, 옥토니언 행렬 대수, 비거듭제곱 결합 구조에 초점을 맞춘다. 비결합 양자 형식론의 후보로 3×3 헤르미트 행렬의 예외적 저니 대수( exceptional Jordan algebra)를 강조하고, 비결합 기하학의 최근 발전과 그가 양자 이론과 시공간 구조를 통합하는 데의 잠재력을 논의한다.

ABSTRACT

We review attempts by Pascual Jordan and other researchers, most notably Lawrence Biedenharn to generalize quantum mechanics by passing from associative matrix or operator algebras to non-associative algebras. We start with Jordan's work from the early 1930ies leading to Jordan algebras and the first attempt to incorporate the alternative ring of octonions into physics. Jordan's work on the octonions from 1932 till 1952 will be covered, discussing aspects of the exceptional Jordan algebra and how to express probabilities when working with the octonions and the exceptional Jordan algebra. From the 1950ies onwards Jordan and others also considered one-sided distributive systems like near-fields, near-rings, quasi-fields and exceptional Segal systems (the last two examples being not necessarily associative). As the set of non-linear operators forms a near-ring and even a near-algebra, this may be of interest for attempts to pass from a linear to a non-linear setting in the study of quantum mechanics. Moreover, ideas introduced in the late 1960ies to use non-power-associative algebras to formulate a theory of a minimal length will be covered. Lawrence Biedenharn's and Jordan's ideas related to non-power-associative octonionic matrix algebras will be briefly mentioned, a long section is devoted to a summary of Horst Rühaak's PhD thesis from 1968 on matrix algebras over the octonions. Finally, recent attempts to use non-associative algebras in physics will be described.

연구 동기 및 목표

• 비결합 대수의 역사적 발전, 특히 파스콸 저니의 업적을 중심으로 추적한다.
• 저니가 결합 대수를 넘어서 양자역학을 일반화하고자 한 노력, 특히 옥토니언과 예외적 저니 대수에 대한 연구를 검토한다.
• 비결합 프레임워크의 과제와 한계를 탐색한다. 예를 들어, 저니 대수에서의 텐서곱의 실패, 분배법칙과 거듭제곱 결합성 문제 등.
• 역사적 노력과 비결합 기하학의 현대적 발전을 연결하며, 양자 중력 및 입자물리학에의 잠재적 응용을 논의한다.
• 특히 예외적 저니 대수를 포함한 비결합 대수가 확률적 해석을 가진 일반화된 양자이론을 구성하는 데 실현 가능할지 평가한다.

제안 방법

• 1930년대에서 1960년대까지 저니의 비공개 및 공개 논문을 체계적으로 검토하며, 비결합 대수의 연구, 특히 비결합 레인지와 옥토니언에 대한 연구를 분석한다.
• 1968년 허스트 루하크의 박사학위 논문을 분석한다. 이 논문은 옥토니언 위의 4×4 헤르미트 행렬에 초점을 맞추며, 비거듭제곱 결합성과 약한 결합성의 특성을 강조한다.
• 비선형 연산자로부터 생성된 근환과 근대수를 검토한다. 이는 선형 구조를 넘어서 양자역학을 일반화하고자 하는 필요성에서 기인한다.
• 비분배법칙과 비거듭제곱 결합성을 가지는 대수를 최소 길이 이론의 후보로 고려한다.
• 최근 발전을 통합한다. 특히 두보아비올레의 거의 고전적 양자 기하학과 버트람의 리-저니 대수 및 일반화된 벡터 다발에 대한 연구.
• 부드러운 함수 대수와 유한차원 저니 대수(예: 예외적 저니 대수)의 텐서곱을 사용하여 비결합 양자 시공간을 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비결합 대수, 특히 저니 대수와 옥토니언 행렬 대수는 결합 대수 연산자 대수를 넘어서 양자역학을 타당하게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 예외적 저니 대수인 옥토니언 위의 3×3 헤르미트 행렬에서 양자역학의 확률적 해석을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 비거듭제곱 결합성은 양자역학의 측정 공리와 스펙트럼 이론에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 왜 저니 대수의 텐서곱은 저니 대수의 구조를 유지하지 못하는가? 이 장애를 다중 입자 양자 시스템의 맥락에서 어떻게 극복할 수 있는가?
• RQ5 두보아비올레와 버트람이 제안한 비결합 기하학은 얼마나 깊이 양자 중력 또는 입자물리학 모델의 기초로 기능할 수 있는가?

주요 결과

• 옥토니언 위의 4×4 헤르미트 행렬 대수는 비거듭제곱 결합성이며 저니 대수가 아니지만, 아이덴포턴트 원소를 지닌 저니 부분대수를 포함한다.
• 옥토니언 위의 3×3 헤르미트 행렬로 구성된 예외적 저니 대수는 비결합 양자 형식론에서 확률을 정의하는 데 일관된 프레임워크를 제공한다.
• 저니 대수의 텐서곱은 저니 대수가 아니며, 이는 비결합 양자이론에서 다중 입자 상태를 정의하는 데 있어 근본적인 장애를 야기한다.
• 버트람의 리-저니 대수와 일반화된 벡터 다발에 대한 연구는 텐서곱 문제를 해결할 잠재적 해결책을 제공한다. 이는 리 곱과 저니 곱을 모두 포함하는 대수를 도입하기 때문이다.
• 비결합 기하학, 예를 들어 믹스키 스페이스타임 위의 부드러운 함수와 예외적 저니 대수의 텐서곱은 거의 고전적 양자 시공간의 모델로 제안되었다.
• 다양한 노력에도 불구하고, 공간 좌표를 위한 완전한 로렌츠 불변 비거듭제곱 결합성 대수는 구축되지 못했지만, 두 차원의 직교 불변 예시는 달성되었다.