[논문 리뷰] Non-autonomous conformal graph directed Markov systems

Jason Atnip|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 29.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 맵과 변화하는 정점 집합을 가진 비자율적 등각 그래프 지도된 마르코프 시스템(NCGDMS)을 도입한다. 하우스도르프 차원에 대한 바우언의 공식이 비지수적 성장과 균형 조건 하에서 성립함을 증명하고, 타원 함수의 비자율적 애핀 편향에 대한 조르부 집합의 차원에 하한을 제시하여 기존의 자율적 및 유한 비자율적 설정을 초월한다.

ABSTRACT

In this paper we introduce and develop the theory of non-autonomous graph directed Markov systems which is a generalization of the theory of conformal graph directed Markov systems of Mauldin and Urbański, first presented in their book, and the theory of non-autonomous conformal iterated function systems set forth by Rempe-Gillen and Urbański. We exhibit several large classes of functions for which Bowen's formula for Hausdorff dimension holds. In particular we consider weakly balanced finite systems, where we have some control over the growth of the derivatives, and ascending systems. Our results, particularly for ascending systems, generalize and go well beyond what is currently known for autonomous graph directed Markov systems and non-autonomous iterated function systems. We also provide an application to non-autonomous conformal dynamics by estimating the Hausdorff dimension of the Julia set of non-autonomous affine perturbations of an elliptic function from below.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하는 맵과 변화하는 정점 집합을 가진 비자율적 설정으로 등각 그래프 지도된 마르코프 시스템 이론을 일반화한다.
• 비자율적 시스템에서 하우스도르프 차원에 대한 바우언의 공식이 성립하는 조건을 확립한다. 특히, 비지수적 알파벳 성장과 도함수 균형 조건을 중심으로 한다.
• 비자율적 등각 동역학으로의 하우스도르프 차원 결과를 확장하며, 편향된 타원 함수의 조르부 집합에의 적용을 포함한다.
• 새로운 클래스인 상승 시스템을 통해 유한 성질과 비지수적 유계성 등의 가정을 완화한다.
• 무한 또는 증가하는 정점 집합을 가진 비정적, 비자율적 등각 시스템에서의 극한 집합의 하우스도르프 차원을 추정하기 위한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 시간에 따라 변화하는 맵, 정점 집합, 인cidience 행렬을 가진 비자율적 등각 그래프 지도된 마르코프 시스템(NCGDMS)을 도입한다.
• 각 시간 단계에서 정점의 수에 대해 비지수적 성장을 도입한다: limₙ→∞ (1/n)log#I⁽ⁿ⁾ = 0.
• 압력 함수 기법을 적용하고 도함수에 대한 균형 조건을 도입한다: limₙ→∞ (1/n)log(supₐ,ᵦ∈I⁽ⁿ⁾ ||Dφₐ⁽ⁿ⁾|| / ||Dφᵦ⁽ⁿ⁾||) = 0.
• 역지점과 등각 변형 추정을 사용하여 극한 집합의 기하학을 제어하고 압력 추정을 유도한다.
• I⁽ⁿ⁾ ⊆ I⁽ⁿ⁺¹⁾를 만족하는 상승 시스템을 구성하여 성장 제약 조건을 완화하고, 엄격한 비지수적 유계성 조건 없이도 차원 결과를 증명한다.
• 비자율적 동역학에 이 те올리를 적용하여 타원 함수의 애핀 편향을 분석하고, 그 조르부 집합 차원의 하한을 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자율적 등각 그래프 지도된 마르코프 시스템에서 하우스도르프 차원에 대한 바우언의 공식이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비자율적 시스템에서 알파벳 크기의 비지수적 성장 조건을 완화하거나 제거할 수 있는가?
• RQ3 이 이론은 비자율적 등각 동역학에서 조르부 집합의 하우스도르프 차원을 추정하는 데 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ4 도함수 균형과 인cidience 행렬의 구조는 바우언의 공식의 타당성을 확보하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 증가하는 정점 집합을 가진 상승 시스템은 자율적 또는 유한 비자율적 시스템에서 가능한 것 이상의 차원 추정을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 유한적으로 원시적인 NCGDMS에서 비지수적 알파벳 성장과 도함수 균형 조건 하에서 바우언의 공식이 성립한다: HD(J_Φ) = B_Φ.
• I⁽ⁿ⁾ ⊆ I⁽ⁿ⁺¹⁾를 만족하는 상승 시스템에 대해, 이전의 자율적 및 유한 비자율적 시스템을 초월하는 차원 결과를 확립한다.
• 타원 함수의 비자율적 애핀 편향에 대한 조르부 집합의 하우스도르프 차원은 q가 타원 함수의 차수일 때 2q/(q+1) 이상으로 하한이 있다.
• 지정된 조건 하에서 압력 함수의 영점 B_Φ가 하우스도르프 차원과 일치함을 보여, 새로운 비자율적 설정에서 바우언의 공식을 확인한다.
• 증명 기법을 통해 동역학계 F의 초구형 차원에 하한을 제시하며, 최소 2q/(q+1) 이상임을 보여준다.
• 이 프레임워크는 무한하거나 가чёт한 컴팩트 집합의 집합과 시간에 따라 변화하는 정의역을 허용하여, 이전의 비자율적 및 자율적 등각 IFS 이론을 크게 일반화한다.