[논문 리뷰] Non-autonomous right and left multiplicative perturbations and maximal regularity

Mahdi Achache, El Maati Ouhabaz|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 01.

Differential Equations and Boundary Problems참고 문헌 1인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 셀퀴린어 형식과 편경에 대한 최소한의 정규성 조건 하에서, 형태 $ u'(t) + A(t)B(t)u(t) + P(t)u(t) = f(t) $를 가진 비자기 비선형 진화 방정식에 대해 최대 $ L_p $-정규성을 확립한다. 핵심 결과는 힐버트 공간 $ \mathcal{H} $ 에서 $ p \in (1,\infty) $ 에 대해 최대 $ L_p $-정규성이 성립함을 보여주며, 이는 형식의 모듈러스가 함수 $ \omega $ 를 통해 허더 조건을 만족하고, $ \int_0^\tau \frac{\omega(t)}{t^{1+\gamma/2}} dt < \infty $ 를 만족하며, 추가적인 적분 조건을 만족할 경우에 성립한다. 증명은 오른쪽 편경 문제를 왼쪽 편경 문제로의 변환과 이전의 정규성 결과 적용에 기반한다.

ABSTRACT

We consider the problem of maximal regularity for non-autonomous Cauchy problems $u'(t) + B(t)A(t)u(t) + P(t)u(t) = f(t), u(0) = u_0$ and $u'(t) + A(t)B(t)u(t) + P(t)u(t) = f (t), u(0) = u_0$. In both cases, the time dependent operators $A(t)$ are associated with a family of sesquilinear forms and the multiplicative left or right perturbations $B(t)$ as well as the additive perturbation $P(t)$ are families of bounded operators on the considered Hilbert space. We prove maximal $L_p$-regularity results and other regularity properties for the solutions of the previous problems under minimal regularity assumptions on the forms and perturbations.

연구 동기 및 목표

• 비자기 진화 방정식에 대해 시간에 따라 변화하는 오른쪽 및 왼쪽 곱셈형 편경을 가진 힐버트 공간에서 최대 $ L_p $-정규성을 확립한다.
• 시간에 따라 변화하는 편경 $ B(t) $ 와 $ P(t) $ 를 允허하면서 기존의 최대 정규성 결과를 확장한다. 이때 형식과 연산자에 대해 최소한의 정규성 조건을 요구한다.
• 이전까지 알려진 것보다 더 약한 조건 하에서 비자기 시스템에 대해 $ \mathcal{H} $ 에서 최대 정규성 문제가 해결되지 않은 장기적인 열린 문제를 해결한다.
• 왼쪽과 오른쪽 곱셈형 편경을 모두 포함하는 통합 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 변수 치환 $ v(t) = B(t)u(t) $ 를 통해 오른쪽 편경 문제 $ u' + A(t)B(t)u + P(t)u = f $ 를 왼쪽 편경 문제로 변환하여 $ v' + B(t)A(t)v - B'(t)B(t)^{-1}v + B(t)P(t)B(t)^{-1}v = B(t)f $ 를 유도한다.
• 변환된 문제에 대해 기존의 왼쪽 곱셈형 편경에 대한 최대 정규성 결과(정리 3.6)를 적용한다.
• 시간에 따라 변화하는 $ t \mapsto B(t) $ 의 리프시츠 연속성과 $ B(t) $ 및 $ P(t) $ 의 유계성 조건을 이용하여 변환된 문제의 필요 조건을 만족함을 보장한다.
• 형식 $ \mathfrak{a}(t) $ 의 연속성 모듈러스에 대한 핵심 적분 조건 $ \int_0^\tau \frac{\omega(t)}{t^{1+\gamma/2}} dt < \infty $ 를 확립한다. 여기서 $ \omega $ 는 형식의 시간 변화를 제어한다.
• 해의 안정성과 유일성을 보장하기 위해 $ A(t)B(t)u(t) $ 에 대해 $ W^{1}_p(0,\tau;\mathcal{H}) \times L_p(0,\tau;\mathcal{H}) $ 에서 사전 추정식을 유도한다.
• 유사한 변환 기법을 $ u' + B_0(t)A(t)B_1(t)u + P(t)u = f $ 에 적용하여 동시에 왼쪽과 오른쪽 곱셈형 편경이 존재하는 경우에도 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변화하는 셀퀴린어 형식과 유계 연산자 $ B(t) $, $ P(t) $ 에 대해 최소한의 정규성 조건을 만족할 때, 힐버트 공간 $ \mathcal{H} $ 에서 비자기 코시 문제 $ u' + A(t)B(t)u + P(t)u = f $ 에 대해 최대 $ L_p $-정규성이 성립하는가?
• RQ2 형식 $ \mathfrak{a}(t) $ 가 시간에 대해 허더 연속일 경우, 특히 $ \int_0^\tau \frac{\omega(t)}{t^{1+\gamma/2}} dt < \infty $ 를 만족하는 모듈러스 $ \omega(t) $ 를 가질 때, 최대 정규성 결과가 오른쪽 곱셈형 편경으로까지 확장될 수 있는가?
• RQ3 동시에 왼쪽과 오른쪽 곱셈형 편경이 적용될 경우 최대 $ L_p $-정규성이 유지되는가? 이를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 초기 자료의 정규성 $ u_0 \in B(0)^{-1}(\mathcal{H}, D(A(0)))_{1-1/p,p} $ 는 최대 정규성 프레임워크와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 변환 기법 $ v(t) = B(t)u(t) $ 를 통해 오른쪽 편경 문제를 기존의 정규성 성질을 갖는 왼쪽 편경 문제로 감소시킬 수 있는가?

주요 결과

• 형식 $ \mathfrak{a}(t) $ 가 $ |\mathfrak{a}(t,u,v) - \mathfrak{a}(s,u,v)| \leq \omega(|t-s|) \|u\|_{\mathcal{V}_\beta} \|v\|_{\mathcal{V}_\gamma} $ 를 만족하고, $ \int_0^\tau \frac{\omega(t)}{t^{1+\gamma/2}} dt < \infty $ 를 만족할 경우, 오른쪽 편경 문제 $ u' + A(t)B(t)u + P(t)u = f $ 는 $ \mathcal{H} $ 에서 모든 $ p \in (1,\infty) $ 에 대해 최대 $ L_p $-정규성을 가진다.
• 추가 조건 $ \int_0^\tau \frac{\omega(t)^p}{t^{\frac{1}{2}(\beta + p\gamma)}} dt < \infty $ 가 성립할 경우, 초기 자료 $ u_0 \in B(0)^{-1}(\mathcal{H}, D(A(0)))_{1-1/p,p} $ 에 대해 최대 $ L_p $-정규성이 달성된다.
• 해는 사전 추정식 $ \|u\|_{W^1_p(0,\tau;\mathcal{H})} + \|A(\cdot)B(\cdot)u(\cdot)\|_{L_p(0,\tau;\mathcal{H})} \leq C\left[\|f\|_{L_p(0,\tau;\mathcal{H})} + \|B(0)u_0\|_{(\mathcal{H}, D(A(0)))_{1-1/p,p}}\right] $ 를 만족하며, 여기서 $ C > 0 $ 는 $ f $ 와 $ u_0 $ 에 독립적이다.
• 동시 왼쪽 및 오른쪽 곱셈형 편경이 존재하는 경우에도 결과가 확장된다: $ u' + B_0(t)A(t)B_1(t)u + P(t)u = f $ 에 대해 유사한 조건 하에서 최대 $ L_p $-정규성이 성립하며, 초기 자료는 $ u_0 \in B_1(0)^{-1}(\mathcal{H}, D(A(0)))_{1-1/p,p} $ 를 만족한다.
• 변환 $ v(t) = B(t)u(t) $ 는 오른쪽 편경 문제를 왼쪽 편경 문제로 감소시켜 기존의 정규성 이론을 적용할 수 있도록 한다.
• 증명은 $ t \mapsto B(t) $ 의 리프시츠 연속성과 $ B(t) $, $ P(t) $ 의 유계성에 기반하며, 이는 변환된 문제의 필요 조건을 만족함을 보장한다.