[논문 리뷰] Non-Clifford and parallelizable fault-tolerant logical gates on constant and almost-constant rate homological quantum LDPC codes via higher symmetries

Guanyu Zhu, Shehryar Sikander외 3명|arXiv (Cornell University)|2023. 10. 25.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 위상양자장이론(TQFT)에서의 고차 대칭성을 통해 일정 및 거의 일정한 속도로 작동하는 호모로지 양자 LDPC 코드에 비클리포드 및 동시가능한 고장내성 논리 게이트를 구현하기 위한 프레임워크를 제시한다. 이는 교차점에서 만날 수 있는 논리 큐비트들에 대해 횡단 T 게이트가 집합적 CCZ 게이트로 작용하며, 삼중 교차 수가 위상적 불변량이 되어 추가 오버헤드 없이 유니버설하고 주소 지정 가능하며 동시에 작동하는 논리 게이트 연산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We study parallel fault-tolerant quantum computing for families of homological quantum low-density parity-check (LDPC) codes defined on 3-manifolds with constant or almost-constant encoding rate. We derive generic formula for a transversal $T$ gate of color codes on general 3-manifolds, which acts as collective non-Clifford logical CCZ gates on any triplet of logical qubits with their logical-$X$ membranes having a $\mathbb{Z}_2$ triple intersection at a single point. The triple intersection number is a topological invariant, which also arises in the path integral of the emergent higher symmetry operator in a topological quantum field theory: the $\mathbb{Z}_2^3$ gauge theory. Moreover, the transversal $S$ gate of the color code corresponds to a higher-form symmetry supported on a codimension-1 submanifold, giving rise to exponentially many addressable and parallelizable logical CZ gates. A construction of constant-depth circuits of the above logical gates via cup product cohomology operation is also presented for three copies of identical toric codes on arbitrary 3-manifolds. We have developed a generic formalism to compute the triple intersection invariants for 3-manifolds. We further develop three types of LDPC codes supporting such logical gates: (1) A quasi-hyperbolic code from the product of 2D hyperbolic surface and a circle, with almost-constant rate $k/n=O(1/\log(n))$ and $O(\log(n))$ distance; (2) A homological fibre bundle code with $O(1/\log^{\frac{1}{2}}(n))$ rate and $O(\log^{\frac{1}{2}}(n))$ distance; (3) A specific family of 3D hyperbolic codes: the Torelli mapping torus code, constructed from mapping tori of a pseudo-Anosov element in the Torelli subgroup, which has constant rate while the distance scaling is currently unknown. We then show a generic constant-overhead scheme for applying a parallelizable universal gate set with the aid of logical-$X$ measurements.

연구 동기 및 목표

• 일정 또는 거의 일정한 인코딩 속도를 갖는 양자 LDPC 코드를 위한 유니버설, 동시, 고장내성 게이트 세트를 개발하기 위해.
• 기존 횡단 게이트가 개별 주소 지정이 불가능한 다수의 논리 큐비트를 집합적으로 작용시키는 한계를 극복하기 위해.
• 위상적 불변량과 고차형 대칭성을 통해 호모로지 양자 LDPC 코드에 비클리포드 논리 게이트—특히 T 및 CCZ 게이트—를 구현하기 위해.
• 유리한 코드 파rameter와 확장 가능한 논리 게이트 구조를 갖춘 3차원 다각형 기반 LDPC 코드의 명시적 가족을 구성하기 위해.
• 논리 게이트의 상호작용 초그래프와 3차원 다각형의 기하학 간의 연결을 수립하여 효율적인 마법 상태 주입을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 3차원 다각형 내 논리 X 막대의 삼중 교차 수를 통해 색 코드에 대한 횡단 T 게이트의 일반 공식을 유도한다.
• 논리 비클리포드 게이트(CCZ)를 (3+1)D Z₂³ 게이지 TQFT에서 0형 대칭으로 식별하며, 삼중 교차 수를 위상적 불변량으로 사용한다.
• 코디멘션-1 부분다각형에 의해 지지되는 1형 대칭으로서 동시가능한 논리 CZ 게이트를 모델링하여 지수적 동시가부를 가능하게 한다.
• 삼중 교차 구조를 인코딩하는 상호작용 초그래프를 구성하며, 이는 직접적으로 초그래프 마법 상태로 매핑된다.
• 세 가지 유형의 LDPC 코드를 개발한다: 준하이퍼볼릭 코드, 호모로지 피브리 번들 코드, 토렐리 매핑 토러스 코드로, 각각 다른 비율과 거리 스케일링을 갖는다.
• 특정 디엔 트위스트를 통한 매핑 클래스 군과 하브디 끼워넣기 기법을 사용하여 원하는 위상 불변량과 게이트 구조를 갖는 다각형을 설계한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 마법 상태 증식 오버헤드 없이 일정 속도의 호모로지 양자 LDPC 코드에서 비클리포드 논리 게이트를 횡단으로 실행할 수 있는가?
• RQ2 TQFT에서의 고차형 대칭은 호모로지 코드의 논리 게이트 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 논리 X 막대의 삼중 교차 수는 논리 게이트 작동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 논리 게이트의 상호작용 초그래프는 3차원 다각형 위상 기하학을 통해 어떻게 설계되어 동시 및 주소 지정 가능한 게이트 적용을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ5 3차원 다각형 기반 LDPC 코드에서 베티 수와 시스톨의 스케일링 행동은 어떠한가? 그리고 이는 인코딩 비율과 거리에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 색 코드에서의 횡단 T 게이트는 X 막대가 한 점에서 교차하는 임의의 논리 큐비트 3개 조합에 대해 집합적 논리 CCZ 게이트로 작용하며, 삼중 교차 수가 위상적 불변량이 된다.
• 삼중 교차 수는 (3+1)D Z₂³ 게이지 TQFT에서 고차 대칭 연산자의 기대값과 대응되며, 양자 코드와 위상장이론 간의 연결 고리를 형성한다.
• 동시가능한 논리 CZ 게이트는 TQFT에서의 1형 대칭에서 기인하며, 지수적으로 많은 수의 이러한 게이트를 동시에 적용할 수 있게 한다.
• 세 가지 유형의 LDPC 코드를 구성하였다: 준하이퍼볼릭 코드는 비율 k/n = O(1/log n) 및 거리 d = O(log n), 호모로지 피브리 번들 코드는 비율 O(1/log¹ᐟ² n) 및 거리 O(log¹ᐟ² n), 토렐리 매핑 토러스 코드는 일정 비율 및 알려지지 않은 거리 스케일링을 갖는다.
• 삼중 교차 구조를 인코딩하는 상호작용 초그래프는 직접적으로 초그래프 마법 상태에 대응되며, 낮은 오버헤드로 효율적인 마법 상태 주입을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 논리 X 측정과 횡단 게이트를 사용하여 유니버설하고 동시에 고장내성 있는 양자 계산을 상수 오버헤드로 수행할 수 있도록 하며, 추가 앤실리 큐비트가 필요로 하지 않는다.