[논문 리뷰] Non-ergodic Z-periodic billiards and infinite translation surfaces

Krzysztof Frączek, Corinna Ulcigrai|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 21.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 17인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 무한한 $\zeta$-주기적 보일러드와 전이 표면의 $\zeta$-덮개에서 비에르고딕성을 위한 기준을 수립하며, 거의 모든 매개변수와 유리수 매개변수에 대해 방향성 흐름이 비에르고딕이고 비가чёт 수 많은 에르고딕 성분을 가짐을 보여준다. 이 방법은 구간 교환 변환 위에서의 비정규 $\zeta$-값을 가진 코호몰로지의 분석을 통해 포incare 지도와 호모로지 클래스를 활용한다.

ABSTRACT

We give a criterion which allows to prove non-ergodicity for certain infinite periodic billiards and directional flows on Z-periodic translation surfaces. Our criterion applies in particular to a billiard in an infinite band with periodically spaced vertical barriers and to the Ehrenfest wind-tree model, which is a planar billiard with a $Z^2$-periodic array of rectangular obstacles. We prove that, in these two examples, both for a full measure set of parameters of the billiard tables and for tables with rational parameters, for almost every direction the corresponding billiard flow is not ergodic and has uncountably many ergodic components. As another application, we show that for any recurrent Z-cover of a square tiled surface of genus two the directional flow is not ergodic and has no invariant sets of finite measure for a full measure set of directions. In the language of essential values, we prove that the skew-products which arise as Poincare' maps of the above systems are associated to non-regular Z-valued cocycles for interval exchange transformations.

연구 동기 및 목표

• 무한한 $\zeta$-주기적 보일러드와 전이 표면의 $\zeta$-덮개에서 비에르고딕성을 증명하기 위한 기준을 개발하는 것.
• 무한한 불변 측도를 가진 무한한 전이 표면에서의 에르고딕 성질에 대한 이해 부족을 해결하는 것.
• 풍나무 모형과 슬릿이 있는 밴드 내 주기적 보일러드와 같은 잘 알려진 모델들이 거의 모든 방향에서 비에르고딕함을 보여주는 것.
• 이러한 시스템에서 비가산 수의 에르고딕 성분이 존재함을 입증하는 것.
• 포incare 지도로부터 유도되는 $\zeta$-값을 가진 코호몰로지의 비정규성과 비에르고딕성 간의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 구간 교환 변환 위에서의 $\zeta$-값을 가진 코호몰로지의 비정규성에 기반한 비에르고딕성에 대한 일반 기준(정리 6.1)을 수립한다.
• 이 기준을 특정 시스템에 적용한다: 수평으로 무한한 밴드 내에 주기적으로 배열된 수직 슬릿이 있는 보일러드와 $\zeta^2$-주기적 에렌페스트 풍나무 모형.
• 표면 위의 닫힌 곡선의 호모로지 클래스를 사용하여 포incare 지도를 분석하고 흐름의 행동과 연관시킨다.
• 스토크스 정리를 사용하여 평탄한 계량에서 사각형 위의 미분형식의 시간 적분 차이를 유계로 둔다.
• $\zeta$-코호몰로지 $F^{v}_{f}$의 행동을 분석하고, 전이 함수에 대한 측도론적 추정을 사용하여 모순에 의해 그것이 코 boundary가 될 수 없음을 증명한다.
• 측도의 KZ-하이퍼볼리시티와 안정 공간 $E_{\omega}^{-}(M,\mathbb{R})$에 의존하여, 만약 코호몰로지가 정규였다면 모순이 발생함을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한한 $\zeta$-주기적 전이 표면에서의 방향성 흐름이 비에르고딕이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 풍나무 모형과 밴드 내 주기적 보일러드의 비에르고딕성이 거의 모든 매개변수에 대해 엄밀하게 입증될 수 있는가?
• RQ3 이러한 비에르고딕 시스템에서의 에르고딕 분해의 구조는 어떻게 되는가—특히 비가산 수의 에르고딕 성분을 포함하는가?
• RQ4 구간 교환 변환 위에서의 $\zeta$-값을 가진 코호몰로지의 비정규성은 관련된 스케일드 프로덕트의 에르고딕 성질과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 무한한 $\zeta$-덮개에서의 방향성 흐름의 포incare 지도가 얼마나 정규적이지 않은가—이는 기저 동역학에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 길이 $l \in (0,1)$인 수평 무한 밴드 내에 주기적으로 배열된 수직 슬릿이 있는 보일러드의 경우, 거의 모든 방향과 모든 유리수 $l$에 대해 방향성 흐름은 비에르고딕이며 비가산 수의 에르고딕 성분을 가진다.
• $\zeta^2$-주기적 직사각형 장애물이 있는 에렌페스트 풍나무 모형은 거의 모든 매개변수와 유리수 매개변수에 대해 비에르고딕인 방향성 흐름과 비가산 수의 에르고딕 성분을 가진다.
• 임의의 재귀적인 $\zeta$-덮개를 가진 종수 2의 정사각형 타일링 표면에 대해, 거의 모든 방향에 대해 방향성 흐름은 비에르고딕이며 유한 측도를 가진 불변 집합을 갖지 않는다.
• 연구된 시스템의 포incare 지도는 구간 교환 변환 위에서의 비정규 $\zeta$-값을 가진 코호몰로지와 관련된 스케일드 프로덕트이다.
• $\zeta$-코호몰로지 $F^{v}_{f}$는 모순에 의해 코 boundary가 될 수 없으며, 측도론적 추정과 안정 공간 $E_{\omega}^{-}(M,\mathbb{R})$의 영이 아닌 성질을 사용하여 이를 입증한다.
• 증명은 정규성 가정 하에 $\liminf_{t\to\infty} \|\rho\|_{G_{t}\omega} < \infty$ 를 도출하며, 이는 측도의 KZ-하이퍼볼리시티와 모순되어 비정규성을 증명한다.