[论文解读] Non-Linear Transformations of Quantum Amplitudes: Exponential Improvement, Generalization, and Applications

Arthur G. Rattew, Patrick Rebentrost|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种新的量子算法框架，通过使用对角块编码和量子信号处理，对量子态的振幅进行非线性变换，相较于先前方法实现了指数级加速。该方法可高效实现如 tanh 等函数的应用，以 ℓ₂-范数误差 ε 执行时仅需 O(log(N/ε)) 次查询，相比先前工作的 O(√N log(N/ε)) 显著减少，且可推广至一大类非线性函数，并提供可证明的误差界。

ABSTRACT

Quantum algorithms manipulate the amplitudes of quantum states to find solutions to computational problems. In this work, we present a framework for applying a general class of non-linear functions to the amplitudes of quantum states, with up-to an exponential improvement over the previous work. Our framework accepts a state preparation unitary (or block-encoding), specified as a quantum circuit, defining an $N$-dimensional quantum state. We then construct a diagonal block-encoding of the amplitudes of the quantum state, building on and simplifying previous work. Techniques from the QSVT literature are then used to process this block-encoding. The source of our exponential speedup comes from the quantum analog of importance sampling. We then derive new error-bounds relevant for end-to-end applications, giving the error in terms of $\ell_2$-norm error. We demonstrate the power of this framework with four key applications. First, our algorithm can apply the important function $ anh(x)$ to the amplitudes of an arbitrary quantum state with at most an $\ell_2$-norm error of $ε$, with worst-case query complexity of $O(\log(N/ε))$, in comparison to the $O(\sqrt{N}\log(N/ε))$ of prior work. Second, we present an algorithm solving a new formulation of maximum finding in the unitary input model. Third, we prove efficient end-to-end complexities in applying a number of common non-linear functions to arbitrary quantum states. Finally, we generalize and unify existing quantum arithmetic-free state-preparation techniques. Our work provides an important and efficient algorithmic building block with potentially numerous applications in areas such as optimization, state preparation, quantum chemistry, and machine learning.

研究动机与目标

• 开发一种通用且高效的框架，用于对量子态振幅应用非线性函数，克服先前基于线性变换的量子算法的局限性。
• 通过利用重要性采样的量子模拟和块编码技术，实现振幅变换任务的指数级加速。
• 为端到端应用推导出严格的 ℓ₂-范数误差界，使其在量子机器学习、优化和量子化学中具有实际应用价值。
• 将现有的无需量子算术运算的状态制备技术统一并推广至一个单一、可扩展的框架下。
• 通过四个关键应用展示该框架的实用性：tanh 应用、最大值查找、一般非线性函数应用以及状态制备。

提出的方法

• 构建由酉电路制备的量子态振幅的对角块编码，简化分析过程，并实现高效处理。
• 对块编码的振幅算符应用量子信号处理（QSP）技术，通过多项式逼近实现非线性变换。
• 利用重要性采样的量子模拟方法，在关键情形下实现查询复杂度的指数级改进，将依赖关系从 O(√N) 降低至 O(log N)。
• 利用函数 f(ψ_j) 在区间 [−1,1] 上可被低次多项式逼近的事实，实现基于 QSP 的高效实现。
• 采用子空间误差定义，并推导出新的 ℓ₂-范数误差界，其紧致且适用于端到端量子算法。
• 将该方法推广至复振幅情形，并探索将辅助量子比特需求从 O(n) 降低至 O(1) 的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以相较于先前方法的指数级加速，对量子态振幅应用非线性函数？
• RQ2 在实际量子算法中，如何严格界定并最小化振幅变换中的 ℓ₂-范数误差？
• RQ3 该框架能否推广以支持一大类非线性函数，包括 tanh 和反三角函数？
• RQ4 该算法能否用于解决新问题，例如在酉输入模型中实现最大值查找？
• RQ5 现有的无需量子算术运算的状态制备技术能否在该新框架下实现统一与简化？

主要发现

• 该算法在以 ℓ₂-范数误差 ε 应用 tanh 到振幅时，实现 O(log(N/ε)) 的查询复杂度，相较于先前的 O(√N log(N/ε)) 边界实现了指数级改进。
• 该框架实现了酉输入模型中最大值查找的新公式化，具有高效的端到端复杂度。
• 对于任何在 [−1,1] 上可用低次多项式良好逼近的函数 f，该算法可实现 f(ψ_j) 对态振幅的应用，其复杂度呈 O(polylog(1/ε)) 规模。
• 推导出 ℓ₂-范数误差界并证明其紧致性，使端到端应用中的误差分析更加可靠。
• 对角块编码的构造简化了分析过程，并通过 QSP 实现了非线性变换的高效实现。
• 该框架推广并统一了现有的无需量子算术运算的状态制备技术，展示了其在量子机器学习、优化和量子化学中的广泛适用性。