[논문 리뷰] Non vanishing divisors for general cyclic covers and their Thomae formula

Yaacov Kopeliovich|arXiv (Cornell University)|2009. 09. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 순환 덮개의 분지점의 원상에 지지되는, 차수 g−1인 비양의 인수의 클래스를 도입하며, 이들의 아벨-야코비 이미지에서 표준 θ-함수가 0이 아님을 보인다. [BR], [Na], [EG]의 이전 연구를 일반화하여, 비표준 주기의 행렬식을 제외한 나머지에서는 θ-함수 값이 분지점에 대해 다항식이 됨을 증명한다. 일반화된 Accola 프레임워크와 특이 순환 덮개에 대한 Nakayashiki의 접근법을 사용한다.

ABSTRACT

Abstract. Let X be a general cyclic cover of CP1 ramified at m points, λ1...λm. we define a class of non positive divisors on X of degree g−1 supported in the pre images of the branch points on X, such that the the standard theta function doesn’t vanish on their image in J(X). These divisors generalize the divisors introduced in [BR] and [Na]. Generalizing the results of [BR],[Na] and [EG] we show that up to a certain determinant of the non standard periods of X, the value of the theta functions at these divisors is a polynomial in the branch point of the curve X. Our treatment is based on a generalization of Accola’s results of the 3 cyclic sheeted cover [Ac1] and a straightforward generalization of Nakayashiki’s approach explained in [Na] in the non singular case for any singular cyclic cover. 1.

연구 동기 및 목표

• CP¹의 일반적인 순환 덮개 위에서 분지점의 원상에 지지되는, 차수 g−1인 비양의 인수의 새로운 클래스를 정의한다.
• 이러한 인수에 대해 θ-함수의 0이 아님 성질을 비특이 케이스를 초월하여 특이 순환 덮개로 확장한다.
• 이 인수들에서 표준 θ-함수의 값이 비표준 주기의 행렬식을 제외한 나머지에서는 분지점에 대해 다항식이 됨을 확립한다.
• Accola의 3겹 덮개에 대한 결과와 Nakayashiki의 접근법을 임의의 특이 순환 덮개로 일반화한다.
• 임의의 분지 구조를 가진 일반 순환 덮개의 맥락에서 쌍대형 탐마 공식을 위한 통합적 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• CP¹에 대한 임의의 순환 덮개에서 m개의 분지점에 대해, 3겹 덮개에 대한 Accola의 결과를 일반화한다.
• 덮개 X 위에서 m개의 분지점의 원상에 지지되는 차수 g−1의 인수의 클래스를 구성한다.
• 비특이 덮개에 대해 Nakayashiki의 방법을 사용하고, 주기의 일관된 처리를 통해 특이 순환 덮개로 이를 확장한다.
• 비표준 주기들을 포함하는 행렬식 인자를 도입하여 θ-함수 값을 정규화한다.
• 정규화된 θ-함수 값이 분지점 λ₁,…,λₘ에 대해 다항식임을 증명한다.
• 일반화된 프레임워크를 적용하여 특이 순환 덮개 위의 주어진 인수 클래스에 대해 탐마형 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CP¹의 일반적인 순환 덮개 위에서, 분지점의 원상에 지지되는 차수 g−1인 비양의 인수의 클래스를 정의할 수 있는가? 이 인수들의 아벨-야코비 이미지에서 표준 θ-함수가 0이 아닐까?
• RQ2 이러한 인수들에서 표준 θ-함수의 값은 덮개의 분지점에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 Nakayashiki의 비특이 덮개에 대한 접근법을 특이 순환 덮개로 얼마나 넓히는가?
• RQ4 비표준 주기의 행렬식은 θ-함수 값의 정규화에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 일반적인 순환 덮개 설정에서 이러한 인수들에 대해 탐마형 공식을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 분지점 m개의 원상에 지지되는, CP¹의 일반적인 순환 덮개 위에서 차수 g−1인 비양의 인수의 새로운 클래스가 구성된다.
• 이 인수들의 아벨-야코비 이미지에서 표준 θ-함수가 0이 아니며, [BR]와 [Na]의 결과를 일반화한다.
• 비표준 주기의 행렬식을 제외한 나머지에서는, 이 인수들에서 θ-함수 값이 분지점 λ₁,…,λₘ에 대해 다항식이다.
• 이 프레임워크는 Accola의 3겹 덮개 결과를 임의의 순환 덮개로 일반화하며, 특이한 경우도 포함한다.
• Nakayashiki의 방법이 특이 순환 덮개로 성공적으로 확장되어, 탐마 공식의 통합적 처리가 가능해졌다.
• 논문은 정규화된 θ-함수 값이 분지점에 대해 다항식으로 의존함을 확립하며, 일반적인 경우에 대해 구축 가능한 탐마형 공식을 제공한다.