[논문 리뷰] Nonbinary Quantum Cyclic and Subsystem Codes Over Asymmetrically-decohered Quantum Channels

Salah A. Aly, Alexei Ashikhmin|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 위상-역전 오류(Z)가 비트-역전 오류(X)보다 더 자주 발생하는 비대칭 양자 채널에서 비이진 비대칭 양자 순환 및 서브시스템 코드를 구성하기 위한 두 가지 일반적인 대수적 방법을 제안한다. 생성 다항식과 고전적 순환 코드의 정의 집합을 사용하여, 비대칭 양자 BCH, 리드-솔로몬, 리드-멀러 코드 및 서브시스템 코드의 가족을 유도하며, 이는 시프트 레지스터를 통한 효율적인 인코딩과 비대칭 오류 확률을 가진 현실적인 노이즈 모델에서의 개선된 오류 수정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Quantum computers theoretically are able to solve certain problems more quickly than any deterministic or probabilistic computers. A quantum computer exploits the rules of quantum mechanics to speed up computations. However, one has to mitigate the resulting noise and decoherence effects to avoid computational errors in order to successfully build quantum computers. In this paper, we construct asymmetric quantum codes to protect quantum information over asymmetric quantum channels, $\Pr Z \geq \Pr X$. Two generic methods are presented to derive asymmetric quantum cyclic codes using the generator polynomials and defining sets of classical cyclic codes. Consequently, the methods allow us to construct several families of quantum BCH, RS, and RM codes over asymmetric quantum channels. Finally, the methods are used to construct families of asymmetric subsystem codes.

연구 동기 및 목표

• 위상-역전 오류(Z)가 비트-역전 오류(X)보다 더 자주 발생하는 비대칭 양자 채널에서 양자 오류 수정 문제를 다루기 위해.
• 오류 확률의 비대칭성을 활용하여 개선된 고장 내성과 함께 체계적이고 대수적으로 구조화된 양자 코드를 개발하기 위해.
• 고전적 순환 코드의 서로 다른 오류 수정 능력을 활용하여 양자 코드의 CSS 구축을 비대칭 설정으로 일반화하기 위해.
• 고전적 순환 코드의 생성 다항식 기반 시프트 레지스터 회로를 사용하여 효율적인 온라인 인코딩 및 디코딩을 가능하게 하기 위해.
• 고전적 코드의 쌍대성과 내재된 구조를 활용하여 비대칭 서브시스템 코드 (ASSC)로의 일반화를 위해.

제안 방법

• 유한체 위에서의 고전적 순환 코드의 생성 다항식과 정의 집합을 사용하여 비대칭 양자 코드를 구성하기 위해.
• 두 개의 고전적 순환 코드 $C_1$과 $C_2$를 사용하여 CSS 구축 프레임워크를 적용하며, $C_2^\bot \subseteq C_1$이 되도록 하여 $d_z \geq d_x$를 보장하기 위해.
• 비대칭 양자 코드 매개변수를 $[[n, k_1 + k_2 - n, d_z/d_x]]_q$로 정의하며, 여기서 $d_z = \text{wt}(C_2)$, $d_x = \text{wt}(C_1)$이다.
• 순환 코드의 대수적 구조를 활용하여 생성 다항식의 근과 순환 코셋을 기반으로 안정자 생성자를 도출하기 위해.
• 고전적 코드의 쌍대성과 내재된 코드 조건을 활용하여, 유효한 양자 코드 구축을 위한 자기 수직 및 쌍대 포함 코드의 존재를 보장하기 위해.
• 비대칭 서브시스템 코드 (ASSC)로의 일반화를 위해 코드를 $[[n, k, r, d_z/d_x]]_q$로 간주하며, $r > 0$이므로 논리적 및 가이드 큐비트 차원 간의 트레이드오프를 허용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 고전적 순환 코드를 위상-역전 오류와 비트-역전 오류를 서로 다른 확률로 수정할 수 있는 비대칭 양자 코드로 체계적으로 변환할 수 있는가?
• RQ2 생성 다항식과 정의 집합에 대한 어떤 대수적 조건이 비대칭 양자 코드의 목적에 맞는 최소 거리 $d_z$와 $d_x$를 보장하는가?
• RQ3 두 개의 고전적 순환 코드를 사용하여 $C_2^\perp \subseteq C_1$ 조건을 만족할 경우, CSS 구축을 비대칭 설정으로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 비대칭 서브시스템 코드는 어떻게 고전적 순환 코드에서 도출할 수 있으며, 가이드 큐비트 차원 $r$은 오류 수정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 시프트 레지스터 기반 인코딩 회로를 비대칭 양자 코드에 적용할 경우, 구현 효율성 측면에서 어떤 의미가 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 고전적 순환 코드를 사용하여 유한체 위에서 비대칭 양자 BCH, 리드-솔로몬, 리드-멀러 코드를 구성할 수 있음을 보여준다.
• 매개변수 $[n, k_1, 3]_2$를 가진 해밍 코드 $C_1$과 설계 거리 $δ \geq 5$를 가진 BCH 코드 $C_2$를 사용할 경우, 매개변수 $[[n, k_1 + k_2 - n, d_z/3]]_q$를 가진 비대칭 양자 코드를 달성할 수 있다.
• 이 구축은 $d_z \geq d_x$를 보장하므로, 위상-역전 오류가 비트-역전 오류보다 더 자주 발생하는 채널에 적합한 코드임을 보장한다.
• 비대칭 서브시스템 코드는 CSS 구축의 일반화를 통해 도출되며, 정리 10을 통해 논리적 및 가이드 큐비트 차원 간의 트레이드오프를 허용한다.
• 순환 코드의 대수적 구조는 피드백이 있는 시프트 레지스터를 사용한 효율적인 온라인 인코딩 및 디코딩을 가능하게 하여 실용적 구현을 향상시킨다.
• 모든 안정자 코드(순수 및 불순)는 특정 차원 및 거리 조건 하에서 서브시스템 코드로 환원 가능하며, 그 반대도 마찬가지로 가능함을 보여주며, 두 코드 클래스 간의 이중성 관계를 입증한다.