[论文解读] Noncommutative differential calculus, homotopy BV algebras and formality conjectures

Dmitri Tamarkin, Boris Tsygan|ArXiv.org|Feb 15, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用 69

一句话总结

本文引入了强同伦BV代数，并提出了非交换几何中Hochschild上链复形的形变同构猜想。证明了Hochschild上链复形 $ C^\bullet(A,A) $ 携带一个 $ G_\infty $ 代数结构，并确立了当 $ A = C^\infty(\mathbb{R}^n) $ 时，该复形与经典多向量场复形 quasi-isomorphic，通过Etingof-Kazhdan去量化推广了Kontsevich的形变同构定理。

ABSTRACT

We define a notion of astrongly homotopy BV algebra and apply it to deformation theory problems. Formality conjectures for Hochschild and cyclic chains are formulated. We prove some partial results supporting these conjectures.

研究动机与目标

• 将形变理论中的形变同构定理推广到非交换设置，使用强同伦代数。
• 在Hochschild上链复形上定义并研究 $ G_\infty $ 和 $ BV_\infty $ 结构。
• 提出并提供证据支持Hochschild上同调与非交换几何中多向量场之间形变同构猜想。
• 通过Etingof-Kazhdan去量化建立 $ BV_\infty $ 结构与李双代数形变理论之间的联系。

提出的方法

• 引入强同伦BV代数（$ BV_\infty $）的概念，作为 $ \wedge^\bullet(\mathfrak{g}^\bullet) $ 上的微分算子 $ \Delta = \delta + \partial^{\text{coLie}} + \sum \Delta_{2i-1} $，其中 $ \mathfrak{g}^\bullet $ 是 $ T(C^\bullet(A,A)[1]) $ 的Etingof-Kazhdan去量化。
• 将Etingof-Kazhdan去量化用作量化的对偶，从而实现 $ C^\bullet(A,A) $ 上 $ G_\infty $ 结构的简化证明。
• 应用强同伦代数理论（$ A_\infty $, $ C_\infty $, $ L_\infty $, $ G_\infty $）将经典微分几何结构推广到非交换代数。
• 通过微分graded李双代数 $ \mathfrak{g}^\bullet(A) $ 的过滤形变复形的上同调分析 $ BV_\infty $ 结构的障碍。
• 提出Lie双代数的形变复形与其Etingof-Kazhdan量化的形变复形之间存在自然的quasi-isomorphism。
• 在去量化下，将 $ \mathfrak{g}^\bullet $ 上的典范导子 $ D $ 与 $ \frac{1}{2}\log(S^2) $ 关联，其中 $ S $ 是反极。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意结合代数 $ A $，Hochschild上链复形 $ C^\bullet(A,A) $ 是否具有强同伦Gerstenhaber代数（$ G_\infty $）结构？
• RQ2 Hochschild上链复形 $ C^\bullet(A,A) $ 上的 $ G_\infty $ 代数是否quasi-isomorphic于 $ HH^\bullet(A,A) $ 的形变？
• RQ3 Kontsevich的形变同构定理能否通过 $ G_\infty $ 代数推广到非交换设置？
• RQ4 $ C^\bullet(A,A) $ 上 $ BV_\infty $ 结构存在的障碍是什么？它们如何编码在过滤形变复形的上同调中？
• RQ5 是否存在Lie双代数及其Etingof-Kazhdan量化的形变复形之间的自然quasi-isomorphism？

主要发现

• Hochschild上链复形 $ C^\bullet(A,A) $ 携带一个典范的 $ G_\infty $ 代数结构，Gerstenhaber括号在上同调上诱导出 $ L_\infty $ 结构。
• 对于任意代数 $ A $，$ C^\bullet(A,A) $ 与 $ HH^\bullet(A,A) $ 的形变quasi-isomorphic，证实了一个形变同构型猜想。
• 当 $ A = C^\infty(\mathbb{R}^n) $ 时，$ G_\infty $ 代数 $ \Gamma(M,\wedge^\bullet(TM)) $ 没有非平凡的 $ G_\infty $ 形变，意味着其形变同构。
• $ C^\bullet(A,A) $ 上 $ BV_\infty $ 结构的第一个障碍是 $ \mathfrak{g}^\bullet(A) $ 的典范导子 $ D $，它是余括号与括号的复合。
• 关于Lie双代数及其Etingof-Kazhdan量化的形变复形之间存在自然quasi-isomorphism的猜想，得到了结构类比与上同调匹配的支持。
• 在Etingof-Kazhdan去量化下，$ D $ 的像为 $ \frac{1}{2}\log(S^2) $，其中 $ S $ 是量化霍普夫代数的反极。