[논문 리뷰] Nonexistence of a realistic model for the two dimensional Hilbert space

Andrei Khrennikov|arXiv (Cornell University)|2003. 08. 14.

Quantum Mechanics and Applications인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 벨의 확률적 프레임워크에 도전하며, 그의 모델이 두 차원 힐버트 공간에서도 고전적 베이즈 공식을 사용해 조건부 확률을 일관되게 정의하지 못함을 보여준다. 저자들은 콜모고로프 확률 모델 내에서 조건부 확률에 대한 윌거의 부등식의 새로운 유사체를 증명함으로써, 고전적 및 양자 예측이 복합 시스템이 아닌 경우에도 상충됨을 입증하며, 이는 이 설정에서 양자 행동을 재현할 수 있는 일관된 고전적 확률 모델이 존재하지 않음을 시사한다.

ABSTRACT

We perform the analysis of probabilistic assumptions of Bell's approach. We emphasize that J. Bell wrote about probability without to specify the concrete axiomatics of probability theory. The careful analysis demonstrated that (surprisingly) J. Bell did not apply the classical probability model (Kolmogorov) to describe ``classical physical framework.'' In fact, he created his own probabilistic model and compared it with the quantum one. The crucial point is that J. Bell did not pay attention to {\it conditional probabilities.} We show that conditional probability in his model cannot be defined by classical Bayes' formula. We also use the approach based on Bell-type inequalities in the conventional probabilistic approach, Kolmogorov model. We prove an analog of Wigner's inequality for conditional probabilities and by using this inequality show that predictions of the conventional and quantum probability models disagree already in the case of noncomposite systems (even in the two dimensional case).

연구 동기 및 목표

• 양자역학에서 벨의 확률적 프레임워크의 기초적 가정을 조사하기 위해.
• 벨의 프레임워크가 고전적 베이즈 공식을 사용해 조건부 확률을 일관되게 다루지 못하는 실패를 규명하기 위해.
• 복합 시스템이 아닌 두 차원 시스템에서도 고전적 및 양자 예측 간의 견해 차이가 발생함을 보여주기 위해.
• 콜모고로프 확률 모델에 기반한 조건부 확률을 위한 새로운 부등식을 수립하기 위해.

제안 방법

• 콜모고로프의 공리적 확률 이론에 직접적인 참조 없이, 벨의 접근 방식에서의 확률적 가정을 분석하기 위해.
• 벨이 고전적 콜모고로프 프레임워크를 사용하는 것이 아니라, 암묵적으로 자신의 확률 모델을 구축했다는 것을 규명하기 위해.
• 기존의 콜모고로프 확률 모델을 적용하여, 조건부 확률에 대한 윌거의 부등식의 새로운 유사체를 유도하기 위해.
• 이 부등식을 사용해 두 차원 힐버트 공간에서 고전적 및 양자 확률 모델의 예측을 비교하기 위해.
• 양자 예측을 재현하지 못하는 고전 모델이 얽힘 또는 복합 시스템이 없는 경우에도 실패한다는 것을 입증하기 위해.
• 특히 벨의 모델에서 베이즈 공식을 적용하지 못하는 조건부 확률 정의의 일관성 결여에 집중하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 벨의 확률 모델은 고전적 베이즈 공식을 사용해 조건부 확률을 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ2 고전적 및 양자 예측 간의 견해 차이가 복합 시스템이 아닌 두 차원 양자 시스템에서도 지속되는가?
• RQ3 콜모고로프 모델 내에서 저차원 힐버트 공간에서 고전적 조건부 확률이 양자 예측과 불일치하는 것을 캡처하는 공식적 부등식이 존재하는가?
• RQ4 조건부 확률이 올바르게 고려된 경우, 고전적 확률 모델이 두 차원 힐버트 공간에서 양자 행동을 재현할 수 있는가?
• RQ5 콜모고로프 확률 모델은 벨의 프레임워크에서 조건부 확률에 대한 제약을 드러내는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 벨의 모델은 확률 개념에 암묵적으로 의존하지만, 고전적 콜모고로프 확률 프레임워크를 사용하지 않는다.
• 벨의 모델에서 조건부 확률은 고전적 베이즈 공식을 사용해 일관되게 정의할 수 없다.
• 콜모고로프 모델 내에서 조건부 확률을 위해 특별히 유도된 윌거의 부등식의 새로운 유사체가 존재한다.
• 고전적 및 양자 확률 모델의 예측은 복합 시스템이 아닌 두 차원 시스템에서도 상충된다.
• 고전 모델이 양자 예측을 재현하지 못하는 것은 얽힘 때문이 아니라 조건부 확률의 구조적 불일치에서 기인한다.
• 분석은 복합 상태가 없더라도 저차원 시스템에서 고전적 확률과 양자역학 간의 근본적인 불일치를 드러낸다.