[논문 리뷰] Nonlinear GARCH model and 1/f noise

Aleksejus Kononovičius, Julius Ruseckas|RePEc: Research Papers in Economics|2014. 12. 19.

Financial Risk and Volatility Modeling인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 금융 시계열에서의 주요 스타일라이즈드 사실인 파wr-법 확률밀도함수와 1/f 노이즈 전력스펙트럼밀도(PSD)를 재현하는 비선형 GARCH(1,1) 모델의 수정을 제안한다. 비선형 GARCH 과정으로부터 확률미분방정식(SDE)을 유도함으로써, 저자들은 이러한 모델이 1/f^β PSD를 생성하는 것으로 알려진 비선형 SDE의 한 클래스와 일치함을 보여주며, 매개수를 적절히 조정하면 수치 시뮬레이션을 통해 주파수의 세 개 디아데카드에 걸쳐 1/f 스펙트럼을 확인할 수 있다.

ABSTRACT

Auto-regressive conditionally heteroskedastic (ARCH) family models are still used, by practitioners in business and economic policy making, as a conditional volatility forecasting models. Furthermore ARCH models still are attracting an interest of the researchers. In this contribution we consider the well known GARCH(1,1) process and its nonlinear modifications, reminiscent of NGARCH model. We investigate the possibility to reproduce power law statistics, probability density function and power spectral density, using ARCH family models. For this purpose we derive stochastic differential equations from the GARCH processes in consideration. We find the obtained equations to be similar to a general class of stochastic differential equations known to reproduce power law statistics. We show that linear GARCH(1,1) process has power law distribution, but its power spectral density is Brownian noise-like. However, the nonlinear modifications exhibit both power law distribution and power spectral density of the power law form, including 1/f noise.

연구 동기 및 목표

• 표준 GARCH(1,1) 모델이 금융 시계열에서의 주요 스타일라이즈드 사실인 1/f 노이즈를 재현하지 못하는 한계를 해결하기 위해.
• 비선형 GARCH 수정이 파워-법 PDF와 1/f^β PSD, 특히 1/f 노이즈를 생성할 수 있는지 조사하기 위해.
• ARCH-가족 모델과 기존에 알려진 파워-법 통계를 생성하는 비선형 SDE 간의 격차를 메우기 위해.
• 장기적 의존성을 1/f PSD를 통해 캡처하는 이론적으로 타당하고 경험적으로 관련성이 있는 GARCH 변종을 제공하기 위해.

제안 방법

• 작은 시간 간격 근사(h → 0)를 사용하여 비선형 GARCH(1,1) 과정의 연속시간 확산 극한을 유도한다.
• 유도된 이산시간 GARCH 방정식을 형태 d y = [A y^{μ-1} + C y^{μ/2 - 1}] dt + |B| y^{μ/2} dW_t 의 확률미분방정식(SDE)으로 매핑한다.
• 유도된 SDE를 파워-법 PDF와 1/f^β PSD를 생성하는 것으로 알려진 비선형 SDE의 알려진 클래스와 비교하며, 매개수 λ = μ 및 η = μ/2 로 식별된다.
• 비선형 GARCH 과정의 통계적 성질을 평가하기 위해 수치 시뮬레이션을 사용하며, 주로 PDF와 PSD에 중점을 둔다.
• 시뮬레이션에서 음수의 변동성을 방지하기 위해 σ² = 0에서 반사 경계 조건을 적용한다.
• 매개수(예: b와 c)를 조정하여 C ≈ 0이 되도록 하여 넓은 주파수 범위에서 깔끔한 1/f PSD를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 GARCH(1,1) 과정의 수정이 전력스펙트럼밀도에서 1/f 노이즈를 재현할 수 있는가?
• RQ2 이러한 비선형 GARCH 모델은 조절 가능한 지수를 가진 파워-법 확률밀도함수를 생성하는가?
• RQ3 비선형 GARCH 과정의 확산 극한이 1/f^β PSD를 생성하는 것으로 알려진 SDE의 클래스와 어떤 조건에서 일치하는가?
• RQ4 선형 GARCH(1,1) 모델은 1/f 노이즈와 파워-법 통계를 재현하는 데 어떻게 비교되는가?
• RQ5 제안된 비선형 GARCH 모델은 금융 시계열의 장기적 의존성이라는 스타일라이즈드 사실을 재현할 수 있는가?

주요 결과

• 선형 GARCH(1,1) 과정은 파워-법 PDF를 생성하지만 브라운 운동 노이즈 유사한 PSD를 보이며, 1/f 노이즈를 재현하지 못한다.
• 특히 식 (17)과 (18)로 표현되는 비선형 GARCH(1,1) 모델은 그 확산 극한이 알려진 비선형 SDE의 클래스와 일치할 경우, 파워-법 PDF와 1/f^β PSD를 모두 생성한다.
• 수치 시뮬레이션은 μ = 3 이며 매개수를 (b ≈ 10⁻³, c ≈ 1.596 × 10⁻³) 적절히 조정하면 주파수의 세 디아데카드에 걸쳐 1/f PSD를 생성함을 확인한다.
• PSD 지수 β = 1 이라는 이론적 예측이 수치 결과와 잘 일치하여 이론적 프레임워크의 타당성을 검증한다.
• 비선형 GARCH 과정의 정적 상태 PDF는 지수 λ = μ 를 가진 파워-법을 따르며, 작은 값에서의 발산을 방지하기 위해 경계 조건을 통해 지수 감소를 도입한다.
• SDE에서 계수 C ≈ 0 으로 설정함으로써 1/f 스펙트럼을 달성하며, 이는 두 번째 순서 보정 항을 효과적으로 제거하고 1/f 행동을 분리시킨다.