[논문 리뷰] Nonlinear optimization for matroid intersection and extensions

Yael Berstein, Jon Lee외 2명|ArXiv.org|2008. 07. 24.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 잘 기술된 탇가능 집합과 고정되거나 유니터리 인코딩된 가중치 행렬 W를 가정할 때, 목적 함수 f의 볼록성, 노름, 그리고 射선 볼록성( ray concavity)을 활용하여 매트로이드 교차 및 관련 조합 구조에 대한 비선형 최적화를 위한 효율적인 알고리즘을 제시한다. 볼록 f에 대해서는 다항시간 결정론적 알고리즘을, 노름과 射선 볼록 함수에 대해서는 상수 인자 근사 알고리즘을 제공하며, 두 매트로이드의 공통 기저에 대한 일반 f에 대해서는 랜덤화 알고리즘을 제시한다.

ABSTRACT

We address optimization of nonlinear functions of the form $f(Wx)$, where $f:\R^d o \R$ is a nonlinear function, $W$ is a $d imes n$ matrix, and feasible $x$ are in some large finite set $F$ of integer points in $\R^n$. One motivation is multi-objective discrete optimization, where $f$ trades off the linear functions given by the rows of $W$. Another motivation is to extend known results about polynomial-time linear optimization over discrete structures to nonlinear optimization. We assume that the convex hull of $F$ is well-described by linear inequalities. For example, the set of characteristic vectors of common bases of a pair of matroids on a common ground set. When $F$ is well described, $f$ is convex (or even quasiconvex), and $W$ has a fixed number of rows and is unary encoded or with entries in a fixed set, we give an efficient deterministic algorithm for maximization. When $F$ is well described, $f$ is a norm, and binary-encoded $W$ is nonnegative, we give an efficient deterministic constant-approximation algorithm for maximization. When $F$ is well described, $f$ is ``ray concave'' and non-decreasing, and $W$ has a fixed number of rows and is unary encoded or with entries in a fixed set, we give an efficient deterministic constant-approximation algorithm for minimization. When $F$ is the set of characteristic vectors of common bases of a pair of vectorial matroids on a common ground set, $f$ is arbitrary, and $W$ has a fixed number of rows and is unary encoded, we give an efficient randomized algorithm for optimization.

연구 동기 및 목표

• 매트로이드, 다각형 매트로이드, 할당과 같은 조합 구조에 대한 다항시간 선형 최적화 결과를 비선형 함수로 확장하기 위해.
• 일반 비선형 최적화의 비가역성에 대응하여, 효율적인 알고리즘이 존재하는 광범위한 함수 f, 행렬 W, 타당 집합 F의 클래스를 규명하기 위해.
• f가 볼록, 노름, 또는 射선 볼록일 경우, 잘 기술된 F와 고정되거나 유니터리 인코딩된 W 하에서 f(Wx)의 최대화 또는 최소화를 위한 결정론적 및 랜덤화 알고리즘을 제공하기 위해.
• 특히 순열 행렬과 매트로이드의 공통 기저에 대한 이전 비선형 이산 최적화 결과를 더 넓은 함수 및 구조 클래스로 일반화하기 위해.
• 일반 비선형 최적화가 비가역할지라도, F의 볼록 hull에 대한 분리 오рак루를 가정할 경우 알고리즘적 타당성을 확립하기 위해.

제안 방법

• 접근법은 타당 집합 F의 잘 기술된 성질에 기반하며, 이는 conv(F)가 효율적인 분리 오라클을 갖는다는 것을 의미한다.
• 볼록 또는 준볼록 f와 고정된 d, 유니터리 인코딩 또는 유한한 원소를 갖는 W에 대해, 반복적 정밀화와 오라클 액세스를 통해 최적의 최대화를 달성하는 결정론적 알고리즘을 적용한다.
• 노름 기반 f와 음이 아닌 이진 인코딩된 W에 대해, 노름의 기하학적 및 조합적 성질을 활용하여 결정론적 상수 근사 알고리즘을 구성한다.
• 고정된 d와 유니터리/유한한 W를 갖는 射선 볼록이고 비감소인 f에 대해, 射선 볼록 함수의 구조적 성질을 활용하여 상수 근사 최소화 알고리즘을 개발한다.
• 고정된 d와 유니터리 인코딩된 W를 갖는 두 벡터 매트로이드의 공통 기저에 대한 일반 f에 대해, 무작위로 가중치 벡터를 샘플링하여 최적의 W-이미지를 고확률적으로 추정하는 랜덤화 알고리즘을 사용한다.
• 랜덤화 알고리즘은 지문 집합의 원소를 반복적으로 잘라내는 전략을 사용하여 원래 문제를 n+1개의 부분문제로 환원하며, 랭크 조건과 무작위 샘플링을 기반으로 고확률 성공 가능성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 f가 볼록 또는 준볼록이고, W가 고정된 수의 행을 가지며 유니터리 또는 유한한 인코딩을 가질 경우, 매트로이드 교차에 대한 비선형 최적화가 효율적으로 해결될 수 있는가?
• RQ2 f가 노름이고 W가 음이 아닌 이진 인코딩을 가질 경우, f(Wx)의 최대화에 대해 상수 인자 근사 알고리즘이 존재하는가?
• RQ3 f가 射선 볼록이고 비감소이며, W가 고정된 d와 유니터리/유한한 원소를 가질 경우, 최소화 문제에 대해 상수 인자 근사가 가능한가?
• RQ4 f가 임의일지라도, 두 매트로이드의 공통 기저에 대한 일반 비선형 최적화 문제를 무작위화를 통해 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ5 비선형 매트로이드 교차 문제는 어떻게 소수의 부분문제로 환원되어 효율적인 계산이 가능하게 할 수 있는가?

주요 결과

• 볼록 또는 준볼록 f와 고정된 d, 유니터리 인코딩 또는 유한한 원소를 갖는 W에 대해, 다항시간 내에 효율적인 결정론적 알고리즘이 최대화 문제를 해결한다.
• f가 노름이고 음이 아닌 이진 인코딩된 W를 갖는 경우, 다항시간 내에 결정론적 상수 근사 알고리즘이 최대화를 달성한다.
• 고정된 d와 유니터리/유한한 W를 갖는 射선 볼록이고 비감소인 f에 대해, 최소화 문제에 대한 결정론적 상수 근사 알고리즘이 제공된다.
• 고정된 d와 유니터리 인코딩된 W를 갖는 두 벡터 매트로이드의 공통 기저에 대한 일반 f에 대해, 랜덤화 알고리즘이 다항시간 내에 최적 해를 확률 1/2 이상으로 계산한다.
• 랜덤화 알고리즘의 성공 확률은 n번 반복함으로써 1−1/2^n로 증폭될 수 있으며, 이는 실행 시간에 선형 증가만을 초래한다.
• 지문 집합 원소의 반복적 잘라내기와 무작위 가중치 벡터 샘플링을 조합함으로써, 부분문제로의 환원이 고확률적으로 최적성을 유지한다.