[논문 리뷰] Nonlinear transformation of complex amplitudes via quantum singular value transformation

Naixu Guo, Kosuke Mitarai외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 22.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 12인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 양자 특이값 변환(QSVT)을 사용하여 복소 진폭의 비선형 변환을 위한 양자 알고리즘을 제안하며, 양자 상태에 대한 확률적 비선형 연산을 가능하게 한다. 상태 준비 오라클로부터 진폭의 블록 인코딩을 구성함으로써 정밀도에 대한 지수적 속도 향상과 입력 차원에 대해 약 제곱근 의존도를 달성하며, 양자 컴퓨터에서 신경망을 구현하는 데로의 길을 열어준다.

ABSTRACT

Due to the linearity of quantum operations, it is not straightforward to implement nonlinear transformations on a quantum computer, making some practical tasks like a neural network hard to be achieved. In this work, we define a task called nonlinear transformation of complex amplitudes and provide an algorithm to achieve this task. Specifically, we construct a block-encoding of complex amplitudes from a state preparation unitary. This allows us to transform the complex amplitudes by using quantum singular value transformation. We evaluate the required overhead in terms of input dimension and precision, which reveals that the algorithm depends on the roughly square root of input dimension and achieves an exponential speedup on precision compared with previous work. We also discuss its possible applications to quantum machine learning, where complex amplitudes encoding classical or quantum data are processed by the proposed method. This paper provides a promising way to introduce highly complex nonlinearity of the quantum states, which is essentially missing in quantum mechanics.

연구 동기 및 목표

• 양자역학의 선형성으로 인해 양자 컴퓨터에서 비선형 연산을 구현하는 데 있어 근본적인 과제를 해결하기 위해.
• 비선형 함수를 상태 진폭의 실수부와 허수부에 직접 적용하는 비선형 복소 진폭 변환(NTCA) 작업을 정의하고 해결하기 위해.
• QSVT에 사용하기 위해 진폭의 실수부 또는 허수부를 헤르미트 행렬에 인코딩하는 블록 인코딩 기법을 개발하기 위해.
• 비선형 활성화 함수를 양자 상태 진폭에 적용함으로써 직접적으로 양자 신경망을 구현할 수 있도록 하는 방법을 보여주기 위해.
• 입력 차원과 정밀도에 따른 자원 오버헤드를 정량화하여 실용적인 양자 머신러닝 응용 분야에서 유리한 스케일링을 보여주기 위해.

제안 방법

• 상태 준비 오라클로부터 유니터리 연산자를 구성함으로써 진폭의 실수부 또는 허수부를 헤르미트 행렬에 인코딩하는 블록 인코딩을 도입한다.
• 양자 특이값 변환(QSVT)을 활용하여 인코딩된 행렬의 특이값에 비선형 함수 P와 Q를 적용하며, 이 특이값들은 진폭의 실수부와 허수부에 해당한다.
• 제어된 상태 준비 오라클 및 그 켤레를 사용하며, 응용 횟수는 예상값으로 $\mathcal{O}\left(d\sqrt{N/\sum_{k=1}^{N}|P'(x_k)+Q'(y_k)|^2}\right)$로 증가한다. 여기서 d는 다항식 근사의 차수이다.
• 비선형 함수의 다항식 근사를 위해 테일러 급수 전개를 활용하고 벌랑주리 수의 경계를 설정함으로써 오차 한계를 보장하며, $\varepsilon$-정밀도를 위해 $\mathcal{O}(\log(1/\varepsilon))$의 차수를 달성한다.
• 은닉층 상태에 대해 NTCA 절차를 반복적으로 적용함으로써 다층 양자 신경망으로 일반화하며, 계수를 정규화하기 위해 균일한 특이값 증폭을 사용한다.
• 출력 진폭을 추출하기 위해 진폭 추정을 적용하며, 추가 오차 $\beta$를 가진다. $\ell$-층 네트워크의 총 자원 비용은 $\tilde{\mathcal{O}}\left(d^{\ell}N_{\ell}\sqrt{N_1N_2\cdots N_{\ell}}/\beta\right)$이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 연산의 선형성에도 불구하고, 양자 상태의 복소 진폭에 직접 비선형 변환을 적용할 수 있는가?
• RQ2 비선형 처리를 위한 QSVT를 가능하게 하기 위해 상태 준비 오라클로부터 진폭 성분(실수부 및 허수부)의 블록 인코딩을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 입력 차원 N과 원하는 정밀도 $\varepsilon$에 대해 NTCA를 구현하는 데 드는 자원 비용은 무엇인가?
• RQ4 제안된 방법을 사용하여 양자 상태의 비선형 활성화 함수를 구현할 수 있는가?
• RQ5 이 방법을 사용할 경우 다층 양자 신경망을 위해 필요한 자원의 스케일링은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 이 알고리즘은 이전 방법에 비해 정밀도에 대해 지수적 속도 향상을 달성하며, $\varepsilon$-정밀도를 위해 다항식 근사의 필요 차수는 $\mathcal{O}(\log(1/\varepsilon))$로 스케일링된다.
• 제어된 상태 준비 오라클 호출 수는 $\mathcal{O}\left(d\sqrt{N/\sum_{k=1}^{N}|P'(x_k)+Q'(y_k)|^2}\right)$로 증가하며, 입력 차원 N에 대해 약 제곱근 의존도를 보인다.
• 두 층의 양자 신경망의 경우, 입력 상태 준비 오라클 $U_\psi$를 $\tilde{\mathcal{O}}\left(d^2\sqrt{N_1}\right)$번 사용하며, 더 높은 층은 곱셈적으로 증가한다.
• 낮은 차수의 다항식으로 근사함으로써 비선형 활성화 함수(예: tanh)를 직접적으로 양자 상태 진폭에 적용할 수 있다.
• $\ell$-층 양자 신경망의 경우 총 자원 비용은 $\tilde{\mathcal{O}}\left(d^{\ell}\sqrt{N_1N_2\cdots N_{\ell-1}}\right)$의 오라클 호출로 이루어지며, 진폭 추정은 출력 상태 읽기의 경우 $\tilde{\mathcal{O}}(N_\ell^{3/2}/\beta)$ 요소를 추가한다.
• 이 방법은 일반적으로 선형인 양자 상태에 대해 제어 가능한 비선형 변환을 도입함으로써 양자 머신러닝에 유망한 프레임워크를 제공한다.