[논문 리뷰] Nonlinearity of some subgroups of the planar Cremona group

Yves Cornulier|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Finite Group Theory Research참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 임의의 고르지 않은 노르베르트 군의 임bedding을 통해 복소 평면 크레모나 군의 유한 생성, 3-해결 가능 부분군을 구성한다. 이 부분군은 어떤 체에 대해서도 선형적이지 않으며, 그 핵심 결과는 증가하는 노르베르트 군 Γₙ의 합집합인 이러한 부분군이 충실한 선형 표현을 가질 수 없다는 것이다. 이는 전체 자기동형군 Aut(ℂ²)과 어떤 체에 대해서도 크레모나 군의 비선형성을 증명한다.

ABSTRACT

We give some examples of non-nilpotent locally nilpotent, and hence nonlinear subgroups of the planar Cremona group.

연구 동기 및 목표

• 평면 크레모나 군 Cr₂(ℂ)의 유한 생성 비선형 부분군을 구성하는 것.
• Cr₂(K)의 일부 국소 노르베르트 부분군이 어떤 체에 대해서도 선형이 아니라는 것을 보여주는 것, 특히 특성 0에서도 마찬가지로 성립한다.
• 서르베우와 데르지의 결과를 확장하여 전체 크레모나 군이 어떤 체에 대해서도 비자명한 유한 차원 선형 표현을 가지지 않는다는 것을 보이는 것.
• 자기동형군 Aut(ℂ²)의 표현 이론을 조사하여, 어떤 체에 대해서도 선형이 아니라는 것을 보이는 것.

제안 방법

• s₁가 x를 1만큼 이동시키고, α_f가 y에 f(x)를 더하는 바에 따라, Cr₂(ℂ)에서 s₁과 α_Xⁿ를 생성자로 하는 군 Γₙ의 가닥을 구성한다.
• 반복된 교환자 [s₁, [s₁, ..., [s₁, α_Xⁿ]...]] = α_ΔⁿXⁿ를 사용하여, 특성 0에서 Γₙ가 정확히 n+1계수의 노르베르트 군임을 증명한다.
• Γ_∞ = ⋃Γₙ가 국소 노르베르트이면서, 임의로 큰 계수를 가진 노르베르트 부분군을 포함한다는 것을 보인다.
• 모든 선형 표현에서 고정된 d에 대해 GL_d(F)에 무한한 계수를 가진 노르베르트 군은 임베딩될 수 없으며, 이는 모순을 유도한다.
• 존키에르즈 부분군의 구조와 코어지게 관계를 활용하여 군 연산을 제어한다.
• 비르코프의 보조정리를 적용하여, 모든 Γₙ을 포함하는 부분군 G ⊂ Cr₂(ℂ)의 표현은 자명해야 하며, 이는 비선형성을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Cr₂(ℂ)의 유한 생성 부분군 중 어떤 체에 대해서도 선형이 아닌 것이 존재하는가?
• RQ2 Cr₂(K)의 국소 노르베르트 부분군이 유한 생성 부분군의 계수 길이가 유계가 아닐 수 있는가?
• RQ3 자기동형군 Aut(ℂ²)은 어떤 체에 대해서도 선형인가?
• RQ4 평면 크레모나 군 Cr₂(K)는 어떤 체에 대해서도 비자명한 유한 차원 선형 표현을 가질 수 있는가?
• RQ5 특성 0에서 Aut(ℂ²)의 유한 생성 부분군이 충실한 선형 표현을 가지지 못할 수 있는가?

주요 결과

• s₁, α₁, μ_X로 생성되는 군 G ⊂ Cr₂(ℚ)는 3-해결 가능하며, 어떤 체에 대해서도 선형이 아니다.
• char(K) = 0일 때, Cr₂(ℂ)의 부분군 Γₙ는 정확히 n+1계수의 노르베르트 군이며, n이 증가함에 따라 계수 길이가 무한히 증가한다.
• Γ_∞ = ⋃Γₙ는 국소 노르베르트이지만, 어떤 체에 대해서도 선형이 아니며, 임의로 큰 계수를 가진 노르베르트 부분군을 포함한다.
• 전체 자기동형군 Aut(ℂ²)는 Γ_∞를 포함하므로, 어떤 체에 대해서도 선형이 아니다.
• 평면 크레모나 군 Cr₂(K)는 어떤 체에 대해서도 비자명한 유한 차원 선형 표현을 가지지 않으며, 이는 Cerveau와 Déserti의 결과를 확장한 것이다.
• Cr₂(K)의 모든 선형 표현은 자명해야 하며, 이는 단순군 PGL₃(K)를 통해 인코딩되며, 이는 비자명하게 작용하지만 고정된 d에 대해 GL_d(F)에 충실하게 표현될 수 없다.