[논문 리뷰] Normalization in integral models of Shimura varieties of Hodge type

Yujie Xu|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 02.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 14인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 히오지 유형의 시무라 다양체의 정수 모형이 시겔 모듈라 다양체의 정수 모형으로의 닫힌 매립을 갖는다는 것을 증명한다. 이는 그 구성 과정에서 정규화 단계가 불필요하다는 것을 의미하며, 핵심 결과로는 히오지 매립이 닫힌 매립임을 보여주어, 정수 모형이 이미 매끄럽고 정규임을 암시한다.

ABSTRACT

Let $(G,X)$ be a Shimura datum of Hodge type, and $\mathscr{S}_K(G,X)$ its integral model with hyperspecial (resp. parahoric, assuming the group is unramified) level structure. We prove that $\mathscr{S}_K(G,X)$ admits a closed embedding, which is compatible with moduli interpretations, into the integral model $\mathscr{S}_{K'}(\mathrm{GSp},S^{\pm})$ for a Siegel modular variety. In particular, the normalization step in the construction of $\mathscr{S}_K(G,X)$ is redundant. In particular, our results apply to the earlier integral models constructed by Rapoport, Kottwitz etc. (resp. Rapoport-Zink etc.), as those models agree with the Hodge type integral models for appropriately chosen Shimura data. Moreover, combined with a result of Lan's on the boundary components of toroidal compactifications of integral models, our result also implies that there exist closed embeddings of toroidal compactifications of integral models of Hodge type into toroidal compactifications of Siegel integral models, for suitable choices of cone decompositions.

연구 동기 및 목표

• 히오지 유형의 시무라 다양체 정수 모형을 구성하는 데 있어서 정규화 단계가 불필요하다는 것을 보여주기 위해.
• 이러한 정수 모형을 시겔 모듈라 다양체의 정수 모형으로의 닫힌 매립으로 확립하기 위해.
• 히오지 매립을 통해 시겔 모듈라 공간으로의 모듈리 해석을 유지하기 위해.
• 적절한 코ーン 분해를 사용하여 토로이드적 컴actsification로 결과를 확장하기 위해.
• 모듈로 p 점이 크리스탈린 텐서에 의해 결정됨을 보여주어, 히오지 사상의 단사성을 확보하기 위해.

제안 방법

• 심플렉틱 매립을 통한 시무라 자료의 매립을 통해 Hodge 매립 $\mathscr{S}_K(G,X) \hookrightarrow \mathscr{S}_{K'}(\mathrm{GSp}, S^\pm)$ 을 구성한다.
• Kis17] 및 [Zho17]의 기준을 사용하여, 두 모듈로 p 점이 폐포에서 동일한 상을 갖는다면, 그들의 크리스탈린 텐서가 일치할 때에만 서로 같다는 것을 보인다.
• 특성 0으로의 CM 리프팅을 통해 $ s_{\alpha,\ell,x} = s_{\alpha,\ell,x'} \Rightarrow s_{\alpha,\mathrm{cris},x} = s_{\alpha,\mathrm{cris},x'} $ 를 증명한다.
• 히오지 사이클의 유리성과 이소지니 리프팅을 활용하여, 코homological 텐서의 $ \ell $-adic 및 크리스탈린 성분을 매칭한다.
• Lan(2019)의 엄밀히 호환되는 코너 분해 결과를 적용하여, 닫힌 매립을 토로이드적 컴actsification으로 확장한다.
• 에테일 이웃근과 국소 분석을 사용하여, 경계 성분에 유도된 사상이 닫힌 매립임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히오지 유형의 시무라 다양체 정수 모형을 구성하는 데 있어서 정규화 단계가 필요한가?
• RQ2 정수 모형 $ \mathscr{S}_K(G,X) $ 는 정규화 없이도 $ \mathscr{S}_{K'}(\mathrm{GSp}, S^\pm) $ 안에서 $ \mathrm{Sh}_K(G,X) $ 의 폐포로 표현될 수 있는가?
• RQ3 히오지 사상 $ \mathscr{S}_K(G,X) \to \mathscr{S}_{K'}(\mathrm{GSp}, S^\pm) $ 는 닫힌 매립을 유도하는가?
• RQ4 히오지 유형 정수 모형의 토로이드적 컴actsification은 시겔 정수 모형의 토로이드적 컴actsification으로 매립될 수 있는가?
• RQ5 모듈로 p 점 $ \mathscr{S}_K(G,X) $ 는 그들의 크리스탈린 텐서에 의해 유일하게 결정되는가?

주요 결과

• 정수 모형 $ \mathscr{S}_K(G,X) $ 의 구성 과정에서 정규화 단계는 불필요하다: $ \mathscr{S}_{K'}(\mathrm{GSp}, S^\pm) $ 안에서 $ \mathrm{Sh}_K(G,X) $ 의 폐포는 이미 정규적이며 매끄럽다.
• 닫힌 매립 $ \mathscr{S}_K(G,X) \hookrightarrow \mathscr{S}_{K'}(\mathrm{GSp}, S^\pm) $ 이 존재하며, 이는 모듈리 해석과 호환된다.
• PEL 경우에서 히오지 사상은 닫힌 매립이다. 이는 $ \mathcal{O}_B $-행동이 레벨 구조에 의해 결정되기 때문이다.
• 적절한 코너 분해에 대해, 토로이드적 컴actsification의 닫힌 매립 $$\coprod_j (E_{\mathcal{Z},j}(\sigma_j) \times_{\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}} C_{\mathcal{Z},j}) \hookrightarrow E_{\mathcal{Z}'}(\tau) \times_{\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}} C_{\mathcal{Z}'} $$ 이 존재한다.
• 경계 성분에 대한 사상 $ C_{\mathcal{Z},j} \to C_{\mathcal{Z}'} $ 는 에테일 이웃근의 상에 대해 닫힌 매립이다.
• 히오지 사상의 모듈로 p 수준에서의 단사성은 크리스탈린 텐서의 일치에 의해 유도되며, 이는 CM 리프팅을 통해 $ \ell $-adic 텐서의 일치에 의해 유도된다.