[论文解读] Normalizer circuits and a Gottesman-Knill theorem for infinite-dimensional systems

Juan Bermejo-Vega, Cedric Yen-Yu Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 72被引用 4

一句话总结

本文通过引入形式为 $\mathbb{Z}^a \times \mathbb{T}^b \times \mathbb{Z}_{d_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_n}$ 的群上的归一化器线路，将 Gottesman-Knill 定理推广至无限维量子系统，结合连续变量与离散变量。研究证明，即使稳定子群为不可数或非紧致时，此类线路仍可通过基于群自同构与二次函数的规范形的广义稳定子形式实现经典高效模拟。

ABSTRACT

$ extit{Normalizer circuits}$ [1,2] are generalized Clifford circuits that act on arbitrary finite-dimensional systems $\mathcal{H}_{d_1}\otimes ... \otimes \mathcal{H}_{d_n}$ with a standard basis labeled by the elements of a finite Abelian group $G=\mathbb{Z}_{d_1} imes... imes \mathbb{Z}_{d_n}$. Normalizer gates implement operations associated with the group $G$ and can be of three types: quantum Fourier transforms, group automorphism gates and quadratic phase gates. In this work, we extend the normalizer formalism [1,2] to infinite dimensions, by allowing normalizer gates to act on systems of the form $\mathcal{H}_\mathbb{Z}^{\otimes a}$: each factor $\mathcal{H}_\mathbb{Z}$ has a standard basis labeled by $ extit{integers}$ $\mathbb{Z}$, and a Fourier basis labeled by $ extit{angles}$, elements of the circle group $\mathbb{T}$. Normalizer circuits become hybrid quantum circuits acting both on continuous- and discrete-variable systems. We show that infinite-dimensional normalizer circuits can be efficiently simulated classically with a generalized $ extit{stabilizer formalism}$ for Hilbert spaces associated with groups of the form $\mathbb{Z}^a imes \mathbb{T}^b imes \mathbb{Z}_{d_1} imes... imes \mathbb{Z}_{d_n}$. We develop new techniques to track stabilizer-groups based on normal forms for group automorphisms and quadratic functions. We use our normal forms to reduce the problem of simulating normalizer circuits to that of finding general solutions of systems of mixed real-integer linear equations [3] and exploit this fact to devise a robust simulation algorithm: the latter remains efficient even in pathological cases where stabilizer groups become infinite, uncountable and non-compact. The techniques developed in this paper might find applications in the study of fault-tolerant quantum computation with superconducting qubits [4,5].

研究动机与目标

• 将 Gottesman-Knill 定理推广至无限维量子系统，通过将归一化器线路从有限阿贝尔群扩展至更广范围。
• 为作用于混合连续-离散变量系统的归一化器线路构建经典模拟框架。
• 解决在无限维归一化器线路中出现的无限、不可数或非紧致稳定子群的模拟挑战。
• 提供计算稳定子群支撑集及从中采样的高效算法，即使在病态情况下亦成立。

提出的方法

• 形式化定义作用于无限群 $G = \mathbb{Z}^a \times \mathbb{T}^b \times \mathbb{Z}_{d_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_n}$ 的归一化器线路，包含量子傅里叶变换、群自同构门与二次相位门。
• 提出基于群结构 $\mathbb{Z}^a \times \mathbb{T}^b \times \mathbb{Z}_{d_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_n}$ 的广义稳定子形式，以追踪量子态演化。
• 为这些群上的群自同构与二次函数建立规范形，以实现对稳定子群的高效表示与操作。
• 将模拟问题归约为求解混合实-整数线性方程组，利用史密斯标准形对矩阵表示进行处理。
• 通过紧致子群与自由子群的生成元构造稳定子群的 $(\Delta, \varepsilon)$-网，实现均匀且无冲突的采样。
• 利用群同构的矩阵表示与商群结构，计算稳定子态及其关联分布的支撑集。

实验结果

研究问题

• RQ1 作用于与 $\mathbb{Z}^a \times \mathbb{T}^b \times \mathbb{Z}_{d_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_n}$ 相关的无限维希尔伯特空间的归一化器线路能否被经典高效模拟？
• RQ2 当稳定子群在无限维设置下变为不可数或非紧致时，应如何表示与追踪稳定子群？
• RQ3 在具有混合连续与离散变量的系统中，计算稳定子态支撑集需要何种技术？
• RQ4 当稳定子群为无限或非紧致时，如何实现从稳定子态中高效采样？
• RQ5 自同构与二次函数的规范形在实现此类线路的经典模拟中起到何种作用？

主要发现

• 作用于无限群 $\mathbb{Z}^a \times \mathbb{T}^b \times \mathbb{Z}_{d_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_n}$ 的归一化器线路可在多项式时间内实现经典模拟。
• 由于采用规范形与混合线性方程求解，即使稳定子群为不可数或非紧致，模拟算法仍保持高效。
• 稳定子态的支撑集可表示为陪集 $x_0 + \mathbb{H}$，其中 $\mathbb{H}$ 为群 $G$ 的子群，且该支撑集可通过算法高效计算。
• 通过生成稳定子群中紧致部分与自由部分生成元的随机组合，可实现对稳定子态支撑集的高效采样。
• 稳定子群的 $(\Delta, \varepsilon)$-网构造高效，其内存消耗为 $O(\textnormal{poly}(m,\alpha,\beta,\log N_i,\log\|\mathcal{E}\|_{\mathbf{b}},\log\tfrac{1}{\varepsilon},\log\Delta_i))$ 位。
• 该方法通过将问题归约为求解混合实-整数线性方程组，借助史密斯标准形分解求解，实现鲁棒模拟。