[论文解读] The computational power of normalizer circuits over black-box groups

Juan Bermejo-Vega, Cedric Yen-Yu Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 26被引用 8

一句话总结

本文引入了黑箱归一化电路——一种新的量子计算模型，将标准归一化电路推广至阿贝尔黑箱群，其中群运算通过预言机访问。该文证明这些电路能够解决经典上困难的问题，如因数分解和离散对数问题，并将群分解识别为与该复杂度类相关的完全问题，从而确立了其计算能力的紧致界限。

ABSTRACT

This work presents a precise connection between Clifford circuits, Shor's factoring algorithm and several other famous quantum algorithms with exponential quantum speed-ups for solving Abelian hidden subgroup problems. We show that all these different forms of quantum computation belong to a common new restricted model of quantum operations that we call \emph{black-box normalizer circuits}. To define these, we extend the previous model of normalizer circuits [arXiv:1201.4867v1,arXiv:1210.3637,arXiv:1409.3208], which are built of quantum Fourier transforms, group automorphism and quadratic phase gates associated to an Abelian group $G$. In previous works, the group $G$ is always given in an explicitly decomposed form. In our model, we remove this assumption and allow $G$ to be a black-box group. While standard normalizer circuits were shown to be efficiently classically simulable [arXiv:1201.4867v1,arXiv:1210.3637,arXiv:1409.3208], we find that normalizer circuits are powerful enough to factorize and solve classically-hard problems in the black-box setting. We further set upper limits to their computational power by showing that decomposing finite Abelian groups is complete for the associated complexity class. In particular, solving this problem renders black-box normalizer circuits efficiently classically simulable by exploiting the generalized stabilizer formalism in [arXiv:1201.4867v1,arXiv:1210.3637,arXiv:1409.3208]. Lastly, we employ our connection to draw a few practical implications for quantum algorithm design: namely, we give a no-go theorem for finding new quantum algorithms with black-box normalizer circuits, a universality result for low-depth normalizer circuits, and identify two other complete problems.

研究动机与目标

• 将归一化电路模型扩展至阿贝尔黑箱群，其中群运算通过预言机访问而非显式分解。
• 刻画这些黑箱归一化电路的计算能力，并确定其在解决因数分解和离散对数等问题上的极限。
• 识别与黑箱归一化电路复杂度类相关的完全问题，建立其能力的紧致上下界。
• 提供一个统一框架，通过黑箱归一化电路模型将Shor算法、Clifford电路及其他具有指数加速的量子算法联系起来。

提出的方法

• 将先前仅限于显式分解阿贝尔群（如 $\mathbb{Z}^a \times \mathbb{T}^b \times \mathbb{Z}_{N_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{N_c}$）的标准归一化电路模型扩展，允许使用群运算通过预言机访问的黑箱群。
• 将黑箱归一化电路定义为由作用于以群元素标记的希尔伯特空间上的子群量子傅里叶变换、群自同态门和二次相位门组成的电路。
• 使用广义稳定子形式对黑箱归一化电路进行经典模拟，当群分解已知时，表明群分解是瓶颈。
• 采用多项式时间图灵归约，证明群分解、隐藏核问题以及群上线性方程组在黑箱归一化复杂度类中为完全问题。
• 应用去黑箱化技术，将黑箱群表示转换为矩阵形式，从而实现对某些子程序的经典模拟。
• 证明阿贝尔隐子群问题（HSP）算法中使用的量子傅里叶变换次数在渐近意义上是最优的，且一般情况下电路深度亦为最小。

实验结果

研究问题

• RQ1 黑箱群上的归一化电路能否解决经典上困难的问题，如因数分解和离散对数？
• RQ2 黑箱归一化电路的精确计算能力是什么？其与经典计算相比如何？
• RQ3 群分解是否为黑箱归一化电路复杂度类的完全问题？
• RQ4 能否使用黑箱归一化电路高效求解阿贝尔隐子群问题？该方法在电路深度和傅里叶变换次数方面是否最优？
• RQ5 是否存在其他自然问题，其为黑箱归一化复杂度类的完全问题？

主要发现

• 黑箱归一化电路能够解决经典上困难的问题，如整数因数分解和 $\mathbb{Z}_p^\times$ 上的离散对数计算，展示了在黑箱设置下的指数级量子加速。
• 在多项式时间图灵归约下，有限阿贝尔群的分解是黑箱归一化复杂度类的完全问题，确立了其为该类中最困难的问题。
• 阿贝尔隐藏核问题——给定一个从已分解群到黑箱群的同态——是黑箱归一化复杂度类的完全问题，表明其在该模型中的核心作用。
• 在黑箱群中给出同态和目标的阿贝尔群上线性方程组，同样是黑箱归一化复杂度类的完全问题，扩展了自然完全问题的类别。
• 阿贝尔HSP算法中使用的量子傅里叶变换次数在渐近意义上是最优的，且该算法的归一化门深度在一般情况下亦为最优。
• 尽管包含纠缠门和傅里叶变换，黑箱归一化电路并非通用，且仅凭此模型无法发现新的指数加速算法，原因在于群分解的完全性。