[논문 리뷰] Notions of Anonymous Existence in Martin-Löf Type Theory

Nicolai Kraus, Martı́n Hötzel Escardó외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 11.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 10인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 헤드버그의 정리를 일반화하기 위해 항등형식의 약한 상수 내함수를 도입하여, 특정 조건 하에서 그것이 문장적 절단을 통해 인수로 분해된다는 것을 보여준다. 이는 고유한 항등형식 증명을 가진 유형(집합)이 이러한 함수를 통해 특징지워질 수 있음을 보여주며, 절단을 통한 익명 존재의 새로운 개념을 도입하고, 호모토피 유형 이론에서 절단의 판단적 계산 규칙이 유도하는 놀라운 결과들을 드러낸다. 모든 내용은 Agda로 형식화되어 있다.

ABSTRACT

As the groupoid model of Hofmann and Streicher proves, identity proofs in intensional Martin-Löf type theory cannot generally be shown to be unique. Inspired by a theorem by Hedberg, we give some simple characterizations of types that do have unique identity proofs. A key ingredient in these constructions are weakly constant endofunctions on identity types. We study such endofunctions on arbitrary types and show that they always factor through a propositional type, the truncated or squashed domain. Such a factorization is impossible for weakly constant functions in general (a result by Shulman), but we present several non-trivial cases in which it can be done. Based on these results, we define a new notion of anonymous existence in type theory and compare different forms of existence carefully. In addition, we show possibly surprising consequences of the judgmental computation rule of the truncation, in particular in the context of homotopy type theory. All the results have been formalized and verified in the dependently typed programming language Agda.

연구 동기 및 목표

• 항등형식에 대한 약한 상수 내함수를 사용하여 고유한 항등형식 증명을 가진 유형을 특징지어 헤드버그의 정리를 확장한다.
• 일반적인 장애 요소가 존재하는 상황에서도 약한 상수 함수가 문장적 절단을 통해 분해되는지 조사한다.
• 절단을 통한 새로운 익명 존재의 개념을 도입하고 형식화하며, 표준 존재 기호와 구별한다.
• 호모토피 유형 이론에서 문장적 절단의 판단적 계산 규칙이 미치는 영향을 분석한다.
• 다양한 존재 형태, 예를 들어 문장적 절단, 브라켓 유형, 표준 존재 유형 간의 관계를 명확히 한다.

제안 방법

• 일반적인 일致 조건 없이, 임의의 두 입력에 대해 동일한 출력을 내는 함수로 약한 상수 함수를 정의한다.
• 항등형식에 대해 이러한 함수가 존재하는 유형을 특징지며, 그것이 고유한 항등형식 증명을 가진 유형(즉, 집합)과 대응됨을 보여준다.
• 특정 조건 하에서 임의의 유형에 대한 약한 상수 내함수가 그 도메인의 문장적 절단을 통해 분해됨을 증명한다.
• 문장적 절단(스쿼시 유형)을 사용하여 익명 존재를 정의하며, 존재는 증거를 드러내지 않고 서술된다.
• 모든 결과를 Agda로 형식화하며, 종속 유형과 함수 확장성의 특성을 활용하여 일致성과 유형 이론적 정확성을 검증한다.
• 절단의 판단적 계산 행동을 분석하여, 호모토피 유형 이론에서 놀라운 결과를 이끌어내는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적으로 유형 이론에서 불가능한 상황에서도, 어떤 조건 하에 한 유형에 대한 약한 상수 함수가 그 문장적 절단을 통해 분해될 수 있는가?
• RQ2 항등형식에 대한 약한 상수 내함수는 어떻게 집합(고유한 항등형식 증명을 가진 유형)을 특징짓는가?
• RQ3 유형 이론에서 문장적 절단과 익명 존재 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 절단의 판단적 계산 규칙이 유형 이론적 구성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 표준 존재 기호, 문장적 절단, 브라켓 유형 등 다양한 존재 개념은 강도와 표현력 측면에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 항등형식에 대한 약한 상수 내함수가 존재하는 것은 그 유형이 고유한 항등형식 증명을 가진다(즉, 집합이다)는 것과 필요충분조건이다. 이는 헤드버그의 원래 결과를 일반화한다.
• 항등형식에 대한 이러한 약한 상수 내함수는 일반적으로 임의의 약한 상수 함수에 대해 불가능한 상황에서도 도메인의 문장적 절단을 통해 분해될 수 있다.
• 논문은 문장적 절단을 통한 새로운 익명 존재의 개념을 도입하며, 존재는 증거를 드러내지 않고 서술된다. 이는 표준 존재 유형과 구별된다.
• 문장적 절단의 판단적 계산 규칙은 놀라운 결과를 이끌어내며, 특정 조건 하에서 절단된 유형에서 증거를 추출할 수 있게 한다.
• 경로 공간에 대한 상수 내함수의 유형은 문장적 유형이며, 이러한 내함수가 존재하는 성질은 집합임과 동치이다.
• 함수 확장성은 isProp, isContr, isSet, isDiscrete와 같은 표준 유형 이론적 술어가 모두 문장적 유형임을 암시한다.