[논문 리뷰] Notions of double for Lie algebroids

Kirill C. H. Mackenzie|ArXiv.org|2000. 11. 24.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 30인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 빈 이중 리 대수다발, 매칭된 쌍의 리 대수다발, 특정 준직접곱 유형의 리 이중대수다발 간의 다이어그램적 동치를 수립한다. 이는 관련된 이중 구조가 리 이중대수다발을 이룰 때에만 매칭된 쌍의 리 대수다발이 존재함을 증명하며, 고전적 드린펠트 이중구조를 이중대수다발 설정으로 일반화하는 데서, 정준 동형사상과 브라켓 호환 조건을 통해 이루어진다.

ABSTRACT

We define an abstract notion of double Lie algebroid, which includes as particular cases: (1) the double Lie algebroid of a double Lie groupoid in the sense of the author, such as the iterated tangent bundle of an ordinary manifold, and various iterated tangent/cotangent constructions in symplectic and Poisson geometry; (2) the double of a Lie bialgebra; (3) the double of a matched pair, or twilled extension, of Lie algebras, and a corresponding construction for matched pairs of general Lie algebroids in the sense of Mokri and of J.-H. Lu. We prove that, given any abstract Lie bialgebroid, the `double cotangent' has a structure of double Lie algebroid, which reduces to the classical Drinfel'd double in the Lie bialgebra case. The key to the compatibility conditions between the structures in an abstract double Lie algebroid is an associated Lie bialgebroid in the sense of the author and Ping Xu.

연구 동기 및 목표

• 리 이중대수다발 설정으로 고전적 드린펠트 이중구조를 리 이중대수다발으로 일반화하기.
• 이중 리 대수다발 형식을 통해 매칭된 쌍의 리 대수다발의 무한소 구조를 명확히 하기.
• 매칭된 쌍의 리 군oids에 대한 다이어그램적 특성화와 유사한 방식으로 매칭된 쌍의 리 대수다발의 다이어그램적 특성화를 수립하기.
• 이중 구조의 이중대수다발 조건이 매칭된 쌍을 정의하는 왜곡된 도함수 방정식과 동치임을 검증하기.
• 매칭된 쌍, 리 이중대수다발, 빈 이중 리 대수다발의 개념을 풀림과 더불어 덧셈 구조를 갖춘 범주론적 프레임워크에서 통합하기.

제안 방법

• 기저 다양체 M를 갖는 이중 벡터다발 위에 리 대수다발의 구조를 가지며, 호환 조건을 만족하는 빈 이중 리 대수다발의 개념을 도입한다.
• 이중 리 대수다발을 이중다발 A와 B의 쌍대다발 위에 정의된 두 개의 리 대수다발의 구조로 정의하며, 접선과 코접선 다발 간의 정준 동형사상 R을 포함한다.
• 정준 동형사상 R을 이용해 이중 다발 위의 쇼텐 브라켓을 A와 B 위의 리 대수다발 브라켓과 연결한다.
• 이중 대수다발 공리로부터 왜곡된 도함수 방정식 (6.1)을 유도하며, 이들이 매칭된 쌍의 구조와 동치임을 보인다.
• 이중 리 대수다발을 준직접곱 형태로 구성한다: (A ⋉ B*, A* ⋊ B), 이 구조가 리 이중대수다발을 이룬다는 것을 보여준다.
• 리 이중대수다발의 특성화를 파울슨 텐서와 동형사상 R을 통해 적용하여, 세 구조 간의 동치를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 드린펠트 이중구조를 리 이중대수다발 설정으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 매칭된 쌍의 리 대수다발에 대응하는 정확한 무한소 구조는 무엇인가?
• RQ3 매칭된 쌍의 리 군oids에 대한 다이어그램적 또는 범주론적 특성화와 유사한 방식으로 매칭된 쌍의 리 대수다발에 대한 특성화가 존재하는가?
• RQ4 어떤 조건에서 이중 벡터다발 위의 이중 리 대수다발 구조가 리 이중대수다발을 유도하는가?
• RQ5 매칭된 쌍을 정의하는 왜곡된 도함수 방정식이 빈 이중 리 대수다발의 공리로부터 직접 유도될 수 있는가?

주요 결과

• 기저 다양체 M을 갖는 (A; A, B; M) 위의 빈 이중 리 대수다발의 구조는 리 대수다발 쌍 (A, B)의 매칭된 쌍의 구조와 동치이다.
• 쌍 (A, B)의 매칭된 쌍의 구조는 준직접곱을 통해 정의된 리 이중대수다발의 구조 (A ⋉ B*, A* ⋊ B)와 동치이다.
• 정준 동형사상 R과 사상 T에 의한 브라켓 보존을 통해 동치가 확립되며, 이는 이중 구조의 일관성을 확인한다.
• 왜곡된 도함수 방정식 (6.1)은 이중 대수다발 공리로부터 직접 유도되며, 이는 매칭된 쌍을 정의하는 데 핵심적인 역할을 한다.
• 이 구성은 고전적 리 이중대수다발의 경우를 일반화한다: A와 B가 아벨화될 경우, 이중 다발은 리 이중대수다발의 표준 드린펠트 이중구조를 복원한다.
• 이 틀은 풀림과 더불어 덧셈 구조를 갖춘 모든 범주에서 유효한 순수한 다이어그램적 정의를 제공한다.