[논문 리뷰] Novel algebraic structures from the polysymplectic form in field theory

Igor V. Kanatchikov|ArXiv.org|1996. 12. 31.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 2인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 고전역학의 해밀턴 역학에서의 심플렉틱 형식의 장 이론적 일반화로 다형식형식을 도입하며, 미분 형식 위에 일반화된 비가환, 고차의 제르스텐하버 대수를 생성하는 파울슨 brackets를 구성한다. 주요 기여는 De Donder-Weyl 다형모멘텀 해밀턴 장 이론의 수평 형식 위에 새로운 대수적 구조—일반화된 (비가환 및 고차) 제르스텐하버 대수—를 규명한 것이다.

ABSTRACT

The polysymplectic $(n+1)$-form is introduced as an analogue of the symplectic form for the De Donder-Weyl polymomentum Hamiltonian formulation of field theory. The corresponding Poisson brackets on differential forms are constructed. The analogues of the Poisson algebra are shown to be generalized (non-commutative and higher-order) Gerstenhaber algebras defined in the text.

연구 동기 및 목표

• 다양체 이론에서 해밀턴 역학의 심플렉틱 구조에 대응하는 장 이론적 일반화를 다형식형식을 통해 수립한다.
• 기계학에서의 파울슨 대수적 구조를 고전적 장 이론의 De Donder-Weyl 해밀턴 제도로 일반화한다.
• 다양체 이론의 다형모멘텀 위상공간에서 미분 형식 위의 파울슨 brackets에 기초하는 대수적 구조를 규명한다.
• 수평 형식 위의 brackets 연산이 비가환적이고 고차의 그레디드 라이프니츠 항등식을 만족함을 보여, 제르스텐하버 대수의 일반화를 확립한다.
• 이 새로운 대수적 프레임워크를 통해 해밀턴, 변형 또는 기하학적 양자화를 장 이론으로 확장할 기초를 마련한다.

제안 방법

• 확장된 다형모멘텀 위상공간 $\mathcal{Z}$ 상에서 다형식형식 $\Omega := d^V \Theta = -dp^i_a \wedge dy^a \wedge \omega_i$ 를 정의하며, 여기서 $\Theta = -p^i_a dy^a \wedge \omega_i$ 는 $\bigwedge^n_1 / \bigwedge^n_0$ 에 속하는 코셋이다.
• 다형식형식 $\Omega$ 가 등가류의 대표자로 잘 정의되도록, $\bigwedge^{p+1}_q$ 형식을 모듈로로 하는 수직 외부 미분 $d^V$ 를 정의한다.
• 모든 수평 형식 $F \in \bigwedge^p_0(\mathcal{Z})$ 에 대해 수축 $X_F \hskip 2.0pt\raisebox{-1.0pt}{\rule{6.0pt}{0.3pt}\rule{0.3pt}{8.0pt}}\hskip 3.0pt \Omega = -d^V F$ 를 통해 해밀턴 벡터장 $X_F$ 를 연결한다.
• 등급을 가진 미분 연산자(g.d.o.-s) 위에 등급을 가진 Loday 대수 항등식을 만족하는 왼쪽 반브라켓 $[[X,Y]]$ 를 정의하여, 리 대수의 일반화를 이루도록 한다.
• 모든 수평 형식 위에 파울슨-유사 brackets $\{[F,G]\} = (-)^{n-F} X_F \hskip 2.0pt\raisebox{-1.0pt}{\rule{6.0pt}{0.3pt}\rule{0.3pt}{8.0pt}}\hskip 3.0pt X_G \hskip 2.0pt\raisebox{-1.0pt}{\rule{6.0pt}{0.3pt}\rule{0.3pt}{8.0pt}}\hskip 3.0pt \Omega$ 를 정의한다.
• 이 brackets 이 오른쪽 그레디드 라이프니츠 법칙과 왼쪽 고차 그레디드 라이프니츠 법칙을 모두 만족함을 증명하여, 일반화된 제르스텐하버 대수의 구조를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간-시간 보존성을 해치지 않으면서 기계학의 심플렉틱 구조를 장 이론으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 De Donder-Weyl 해밀턴 제도에서 미분 형식의 파울슨 brackets에 기초하는 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 등급을 가진 brackets가 비가환성과 고차의 라이프니츠 항등식 일반화를 어떻게 만족하는가?
• RQ4 운동 방정식은 새로운 brackets 구조를 사용하여 파울슨 brackets 형태로 재구성할 수 있는가?
• RQ5 다형식형식은 기계학에서 심플렉틱 형식과 유사한 기본 기하학적 대상으로서 장 이론에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 다형식형식 $\Omega = -dp^i_a \wedge dy^a \wedge \omega_i$ 는 $\bigwedge^{n+1}_1 / \bigwedge^{n+1}_0$ 의 등가류의 대표자로 정의되며, 장 이론으로의 심플렉틱 형식의 일반화이다.
• 해밀턴 등급을 가진 미분 연산자(g.d.o.-s)의 공간은 왼쪽 반브라켓 $[[X,Y]]$ 에 대해 그레디드 Loday 대수를 이룬다. 이는 항등식 $[[X,[[Y,Z]]]] = [[X,[[Y,Z]]]] - (-)^{(|X|+1)(|Y|+1)} [[Y,[[X,Z]]]]$ 를 만족한다.
• 수평 형식 위의 파울슨 brackets $\{[F,G]\}$ 는 오른쪽 그레디드 라이프니츠 법칙을 만족한다: $\{[F\wedge G,K]\} = F\wedge\{[G,K]\} + (-)^{G(n-K-1)}\{[F,K]\}\wedge G$.
• 이 brackets 는 왼쪽 고차 그레디드 라이프니츠 법칙도 만족한다: $\{[\{[F,G]\},K]\} = \{[F,\{[G,K]\}]\} - (-)^{(n-F-1)(n-G-1)} \{[G,\{[F,K]\}]\}$.
• 결과적으로 얻어진 대수적 구조는 비가환적이고 고차의 제르스텐하버 대수의 일반화이며, 기계학의 파울슨 대수를 장 이론으로 확장한다.
• 운동 방정식은 다이나믹스 변수 $F$ 에 대해 $\mathbf{d}F = \{[H\omega, F]\}$ 로 표현되며, 여기서 $\mathbf{d}F = dx^i \wedge (\partial_i y^a \partial_a F + \partial_i p^j_a \partial^a_j F)$ 이다. 이는 기계학의 시간 도함수를 장 이론의 전체 미분으로 일반화한다.