[论文解读] Novel Approach Towards Global Optimality of Optimal Power Flow Using Quadratic Convex Optimization

Hadrien Godard, Sourour Elloumi+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2019

Optimal Power Flow Distribution参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对最优潮流（OPF）问题的专用混合整数二次凸重构（MIQCR）方法，通过二次凸优化技术实现全局最优求解。通过利用源自秩松弛的更小半定规划（SDP）松弛，该方法在分支定界树的根节点实现了紧致的下界，从而在2至1354 bus的测试案例中高效地闭合了间隙，表现出接近最优的性能。

ABSTRACT

Optimal Power Flow (OPF) can be modeled as a non-convex Quadratically Constrained Quadratic Program (QCQP). Our purpose is to solve OPF to global optimality. To this end, we specialize the Mixed-Integer Quadratic Convex Reformulation method (MIQCR) to (OPF). This is a method in two steps. First, a Semi-Definite Programming (SDP) relaxation of (OPF) is solved. Then the optimal dual variables of this relaxation are used to reformulate OPF into an equivalent new quadratic program, where all the non-convexity is moved to one additional constraint. In the second step, this reformulation is solved within a branch-and-bound algorithm, where at each node a quadratic and convex relaxation of the reformulated problem, obtained by relaxing the non-convex added constraint, is solved. The key point of our approach is that the lower bound at the root node of the branch-and-bound tree is equal to the SDP relaxation value. We test this method on several OPF cases, from two-bus networks to more-than-a-thousand-buses networks from the MAT-POWER repository. Our first results are very encouraging.

研究动机与目标

• 通过凸优化技术求解非凸最优潮流（OPF）问题，实现全局最优。
• 通过利用半定松弛，提升分支定界方法中下界的质量。
• 通过采用比标准MIQCR更小的SDP松弛，在保持最优性保证的同时降低计算开销。
• 通过定制化的分支定界框架，有效闭合最优可行解与下界之间的对偶间隙。
• 在MATPOWER仓库中的大规模OPF实例上展示该方法的有效性。

提出的方法

• 该方法首先通过半定规划（SDP）求解秩（Shor）松弛，从而应用MIQCR于OPF问题，获得强健的下界。
• 将原始OPF问题重构为一个等价的二次规划问题，其中所有非凸性集中于单一约束中。
• 使用分支定界算法求解重构后的问题，其中每个节点通过放松非凸约束来求解凸二次松弛子问题。
• 该方法的关键创新在于证明：仅需使用更小的SDP松弛——即秩松弛的对偶——即可获得与完整MIQCR方法相同的下界。
• 通过弦图分解利用问题的稀疏性，在SDP求解中提升效率，并使用Xpress求解凸子问题，Knitro求解启发式解。
• 分支策略由δ参数控制，设定为0.5，时间限制为300秒，最终最优性间隙容忍度为$10^{-5}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使用比标准MIQCR更小的半定规划松弛，以实现与OPF全局最优性边界相同的下界？
• RQ2 通过MIQCR重构的OPF问题是否能在分支定界树的根节点实现更紧致的下界？
• RQ3 该分支定界框架是否能高效地闭合大规模OPF实例中的对偶间隙？
• RQ4 所提出的基于MIQCR的OPF求解器与通用求解器（如Baron）相比，性能如何？
• RQ5 在大规模OPF问题中，边界紧缩与启发式策略在多大程度上能提升收敛性能？

主要发现

• 在20个测试案例中的15个（包括1354-bus Pegase系统）中，MIQCR方法在300秒内实现了0%的最优性间隙，表明实现了全局最优。
• MIQCR的根节点间隙始终紧致——在20个实例中有11个为0%，充分证明了SDP秩松弛作为下界的强大性能。
• 相比之下，Baron求解器在根节点表现出较大的间隙（例如118、300和300mod案例中达100%），且在5分钟时间限制内改善甚微。
• 在1354-bus Pegase案例中，MIQCR在204秒内实现0%间隙，而Baron仅达到69%间隙。
• 该方法在分支定界过程中成功改进了上界（例如在case300中从475,783改进至475,462.2），显示出有效的解精炼能力。
• 该方法在更大规模实例上优于通用求解器，尤其在Baron无法闭合间隙的情况下表现更优。