[논문 리뷰] Novel Expressions for the Rice $Ie{-}$Function and the Incomplete Lipschitz-Hankel Integrals

Paschalis C. Sofotasios, Steven Freear|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 14.

Advanced Wireless Communication Techniques참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 수정된 베타 함수의 라이스 $Ie$-함수와 비완전 립시츠-한켈 적분(ILHIs)에 대해 새로운 폐쇄형 표현과 매우 정확한 다항식 근사법을 제시한다. 정확한 급수와 날카운 트렁케이션 오차 한계를 유도하여, fading 채널에서의 디지털 통신 성능 분석을 위한 효율적이고 정밀한 수치 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper presents novel analytic expressions for the Rice $Ie{-}$function, $Ie(k,x)$, and the incomplete Lipschitz-Hankel Integrals (ILHIs) of the modified Bessel function of the first kind, $Ie_{m,n}(a,z)$. Firstly, an exact infinite series and an accurate polynomial approximation are derived for the $Ie(k ,x)$ function which are valid for all values of $k$. Secondly, an exact closed-form expression is derived for the $Ie_{m,n}(a,z)$ integrals for the case that $n$ is an odd multiple of $1/2$ and subsequently an infinite series and a tight polynomial approximation which are valid for all values of $m$ and $n$. Analytic upper bounds are also derived for the corresponding truncation errors of the derived series'. Importantly, these bounds are expressed in closed-form and are particularly tight while they straightforwardly indicate that a remarkable accuracy is obtained by truncating each series after a small number of terms. Furthermore, the offered expressions have a convenient algebraic representation which renders them easy to handle both analytically and numerically. As a result, they can be considered as useful mathematical tools that can be efficiently utilized in applications related to the analytical performance evaluation of classical and modern digital communication systems over fading environments, among others.

연구 동기 및 목표

• 주요 과학 소프트웨어에서 라이스 $Ie$-함수와 ILHIs에 대한 내장 지원 부족으로 인해 무선 통신 분야의 분석적 및 수치적 계산이 저해되는 문제를 해결하기 위해.
• 모든 $k$와 $x$에 대해 유효한 $Ie(k,x)$ 함수의 정확한 해석적 표현과 근사 표현을 유도하여 계산의 용이성을 향상시키기 위해.
• 모든 실수 $m$과 $n$에 대해 $Ie_{m,n}(a,z)$에 대한 정확한 폐쇄형 표현을 유도하고, $n$이 홀수 분수인 경우에 대해 특별히 유도하기 위해.
• 유도된 급수의 트렁케이션 오차에 대해 날카운 폐쇄형 상한을 유도하여 적은 항 수로도 높은 정확도를 확보하기 위해.
• 성능 평가에 적합한 해석적으로 편리하고 수치적으로 효율적인 대수적 표현을 제공하기 위해.

제안 방법

• 수정된 베타 함수와 스트루브 함수를 포함하는 급수 전개를 사용하여, 라이스 $Ie(k,x)$ 함수에 대한 정확한 무한 급수와 다항식 근사법을 유도한다.
• 적분 변환과 급수 재구성 기법을 통해 $n = 2k+1/2$, $k \in \mathbb{N}$ 인 경우 $Ie_{m,n}(a,z)$에 대한 정확한 폐쇄형 표현을 수립한다.
• 통합 초기하함수와 비완전 감마 함수를 기반으로, 모든 실수 $m$과 $n$에 대해 유효한 일반 무한 급수와 다항식 근사법을 개발한다.
• 단조성 성질과 floor 함수 항등식을 활용하여 다항식 근사의 트렁케이션 오차에 대한 폐쇄형 상한을 유도한다.
• 다양한 매개변수에서 급수와 상한의 수치적 평가를 통해 근사의 정확도와 수렴성을 검증한다.
• 기존의 $Ie$-함수와 마르쿠姆 $Q$-함수, ILHIs와 수정된 베타 함수 간의 알려진 항등식을 활용하여 새로운 표현을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $k$와 $x$에 대해 매우 정확하고 계산 효율성이 높은 다항식 근사법을 $Ie(k,x)$ 함수에 대해 도출할 수 있는가?
• RQ2 $n$이 홀수 분수인 경우 비완전 립시츠-한켈 적분 $Ie_{m,n}(a,z)$에 대해 폐쇄형 표현이 존재하는가?
• RQ3 모든 실수 $m$과 $n$에 대해 유효한 일반 급수와 다항식 근사법을 $Ie_{m,n}(a,z)$에 대해 구성할 수 있는가?
• RQ4 제안된 급수 근사의 트렁케이션 오차에 대해 날카운 폐쇄형 상한을 도출할 수 있는가? 이를 통해 최소한의 항 수로도 높은 정확도를 확보할 수 있는가?
• RQ5 실제 통신 시스템 모델링에서 기존 방법과 비교해 유도된 표현의 정확도와 수렴 속도는 어떠한가?

주요 결과

• 모든 $k$와 $x$에 대해 유효한 정확한 무한 급수와 매우 정확한 다항식 근사법이 $Ie(k,x)$ 함수에 대해 도출되었으며, 트렁케이션 오차는 폐쇄형 표현으로 제한된다.
• 모든 $n$이 $1/2$의 홀수 배인 경우 $Ie_{m,n}(a,z)$에 대해 정확한 폐쇄형 표현이 도출되어 특수한 경우의 정밀한 계산이 가능해졌다.
• 모든 $m$과 $n$에 대해 유효한 일반 무한 급수와 날카운 다항식 근사법이 $Ie_{m,n}(a,z)$에 대해 제안되었으며, 수치적 검증을 통해 수렴성이 확인되었다.
• 트렁케이션 오차에 대한 폐쇄형 상한이 유도되었으며, 특히 날카로워서 적은 수의 항으로도 높은 정확도를 달성함을 시사한다.
• 유도된 표현은 대수적으로 다룰 수 있으며, 디지털 통신 시스템의 성능 평가에서 해석적 유도와 수치적 구현 모두에 적합하다.
• 수치 결과는 $Ie_{m,n}(a,z)$가 $n$에 대해 단조 증가함을 확인하였으며, 다양한 매개변수 설정($m$, $n$, $a$, $z$)에서 근사의 높은 정확도를 입증하였다.