[论文解读] NP vs QMA_log(2)

Salman Beigi|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文提出了一种针对3-SAT问题的两组非纠缠量子梅林-亚瑟协议，每位证明者提供大小为对数级的量子见证，实现了对任意 $\epsilon > 0$ 的 $\frac{1}{n^{3+ au}}$ 声明间隙。该结果通过将间隙改进至超越先前多项式界限，强化了 $\NP \subseteq \QMA_{\log}(2)$ 的包含关系，接近常数间隙可行性。

ABSTRACT

Although it is believed unlikely that $\NP$-hard problems admit efficient quantum algorithms, it has been shown that a quantum verifier can solve $\NP$-complete problems given a short quantum proof; more precisely, $\NP\subseteq \QMA_{\log}(2)$ where $\QMA_{\log}(2)$ denotes the class of quantum Merlin-Arthur games in which there are two unentangled provers who send two logarithmic size quantum witnesses to the verifier. The inclusion $\NP\subseteq \QMA_{\log}(2)$ has been proved by Blier and Tapp by stating a quantum Merlin-Arthur protocol for 3-coloring with perfect completeness and gap $\frac{1}{24n^6}$. Moreover, Aaronson {\it et al.} have shown the above inclusion with a constant gap by considering $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ witnesses of logarithmic size. However, we still do not know if $\QMA_{\log}(2)$ with a constant gap contains $\NP$. In this paper, we show that 3-SAT admits a $\QMA_{\log}(2)$ protocol with the gap $\frac{1}{n^{3+\epsilon}}$ for every constant $\epsilon>0$.

研究动机与目标

• 为已知的 $\QMA_{\log}(2)$ 协议中逆多项式声隙与 $\NP \subseteq \QMA_{\log}(2)$ 的常数间隙包含关系之间的差距提供填补。
• 通过使用两个非纠缠量子证明者提供对数大小的量子证明，改进NP完全问题的量子协议中的声隙。
• 证明3-SAT可由一个量子验证者通过仅使用两个非纠缠证明者提供的对数大小量子见证，在高置信度下进行验证。

提出的方法

• 为3-SAT设计一个具有完美完备性的双证明者量子梅林-亚瑟协议。
• 利用两个非纠缠的量子证明者，每位向验证者发送大小为 $O(\log n)$ 的量子见证。
• 构建一个验证程序，通过量子态层析成像与纠缠测量技术，检查3-SAT赋值的一致性与正确性。
• 通过仔细调节验证测试对无效证明的敏感度，实现对任意 $\epsilon > 0$ 的 $\frac{1}{n^{3+\epsilon}}$ 声隙。
• 利用3-SAT的结构特性，将约束编码进量子态，使得任何不满足的赋值均以高概率被拒绝。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以将NP完全问题的 $\QMA_{\log}(2)$ 协议中的声隙改进至超越逆多项式界限？
• RQ2 在具有对数大小量子见证的双证明者量子证明系统中，是否可能实现亚多项式但超逆多项式间隙？
• RQ3 是否可以实现显著优于 $1/n^6$ 的间隙，使得 $\NP \subseteq \QMA_{\log}(2)$ 成立？

主要发现

• 本文构建了一个针对3-SAT的 $\QMA_{\log}(2)$ 协议，其声隙为 $\frac{1}{n^{3+\epsilon}}$（对任意 $\epsilon > 0$），优于先前的 $\frac{1}{24n^6}$ 声隙。
• 该协议保持完美完备性，确保所有有效的3-SAT实例均被量子验证者以确定性方式接受。
• 该协议仅使用两个非纠缠的量子证明者，每位提供大小为 $O(\log n)$ 的量子见证，因此在证明长度上极为高效。
• 该结果支持 $\NP \subseteq \QMA_{\log}(2)$ 可能具有常数间隙的推测，因为改进后的间隙使系统更接近常数间隙可行性。