[논문 리뷰] Nuclearity of semigroup C*-algebras

Astrid an Huef, Brita E. A. Nucinkis외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 10.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 29인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 약한 준격렬 순서를 가진 군에 관련된 반군 C*-대수의 핵심성을 확립한다. 이는 애매한 군에 대한 통제 가능한 사상의 새로운 정의를 도입함으로써 이루어지며, 핵심적인 결과는 K가 아벨리안이면서 ker μ와 ker μ ∩ P에 대한 C*(ker μ, ker μ ∩ P)가 핵심일 경우, C*(G,P)가 핵심이 된다는 것이다. 방법론은 코작용 하에서 고정점 대수와 조건부 기대의 충실성에 기반하며, 이는 이전 결과를 하나의 관계를 가진 반군(예: 바움슬라그–솔리터 반군)과 아벨리안인 약한 준격렬 라이트의 그래프 곱으로 확장한다.

ABSTRACT

We study the semigroup C*-algebra of a positive cone P of a weakly quasi-lattice ordered group. That is, P is a subsemigroup of a discrete group G with P\cap P^{-1}=\{e\} and such that any two elements of P with a common upper bound in P also have a least upper bound. We find sufficient conditions for the semigroup C*-algebra of P to be nuclear. These conditions involve the idea of a generalised length function, called a "controlled map", into an amenable group. Here we give a new definition of a controlled map and discuss examples from different sources. We apply our main result to establish nuclearity for semigroup C*-algebras of a class of one-relator semigroups, motivated by a recent work of Li, Omland and Spielberg. This includes all the Baumslag--Solitar semigroups. We also analyse semidirect products of weakly quasi-lattice ordered groups and use our theorem in examples to prove nuclearity of the semigroup C*-algebra. Moreover, we prove that the graph product of weak quasi-lattices is again a weak quasi-lattice, and show that the corresponding semigroup C*-algebra is nuclear when the underlying groups are amenable.

연구 동기 및 목표

• 준격렬 순서가 아닌 약한 준격렬 순서를 가진 군에 대해 반군 C*-대수의 핵심성 결과를 확장한다.
• 바움슬라그–솔리터 반군과 같은 경우에서의 무한한 내림차순 체인 문제를 해결한다.
• 통제 가능한 사상의 개념을 정의를 확장하여 양의 원소에 비자명한 핵을 포함시키며, 새로운 핵심성 기준을 가능하게 한다.
• 새로운 프레임워크를 적용하여 하나의 관계를 가진 반군, 반직적 곱, 그리고 약한 준격렬의 그래프 곱에 대해 핵심성을 증명한다.
• 핵심성과 K-이론적 분류 사이의 연결 고리를 경계 몫과 기존의 분류 정리들을 통해 수립한다.

제안 방법

• 정의 3.6에 따라, 양의 원소에 비자명한 핵을 허용하는 통제 가능한 사상의 새로운 정의를 도입한다. 이는 무한한 내림차순 체인을 수용할 수 있다.
• 통제 가능한 사상 μ에 의해 유도된 아벨리안 군 K의 C*(G,P)에 대한 코작용을 사용하여 고정점 대수 C*(G,P)δμ를 도입한다.
• μ에 관련된 부분공간에 대한 토플리츠 표현의 충실성으로 고정점 대수가 핵심임을 증명한다.
• 조건부 기대 E: C*(G,P) → span{wpw* : p ∈ P}의 충실성을, 조건부 기대의 사슬과 충실성 증명을 통해 확립한다.
• [29, 보조정리 2.17]을 적용하여 고정점 대수가 핵심이면서 K가 아벨리안일 경우, C*(G,P)가 핵심임을 결론짓는다.
• 새로운 통제 가능한 사상 프레임워크를 사용하여 약한 준격렬의 반직적 곱과 그래프 곱을 분석하며, 아벨리안 조건 하에서 핵심성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 원소에 무한한 내림차순 체인이 존재하는 약한 준격렬 순서를 가진 군에 대해 반군 C*-대수의 핵심성이 확립될 수 있는가?
• RQ2 새로운 통제 가능한 사상 정의가 이전의 통제 가능한 사상 프레임워크를 넘어서 반군 C*-대수의 핵심성 결과를 가능하게 하는가?
• RQ3 새로운 프레임워크는 바움슬라그–솔리터 반군과 같은 하나의 관계를 가진 반군, 특히 음의 관계를 가진 경우에 대해 핵심성을 증명할 수 있는가?
• RQ4 어떤 조건에서 아벨리안 군의 코작용 하에서의 고정점 대수가 핵심이며, 이는 원래 C*-대수의 핵심성을 어떻게 이끌어내는가?
• RQ5 약한 준격렬의 그래프 곱은 다시 약한 준격렬이 되는가? 그리고 그에 대응하는 반군 C*-대수는 언제 핵심이 되는가?

주요 결과

• K가 아벨리안이면서 C*(ker μ, ker μ ∩ P)가 핵심일 경우, 반군 C*-대수 C*(G,P)는 핵심이다.
• 새로운 통제 가능한 사상 정의는 바움슬라그–솔리터 반군의 높이 함수, 예를 들어 BS(c, -d)+와 같이 이전의 통제 가능한 사상 정의로는 다루지 못했던 사례를 포함한다.
• 모든 바움슬라그–솔리터 반군, 음의 관계를 포함하여, 새로운 프레임워크 하에서 핵심적인 반군 C*-대수를 가진다.
• 기저 군들이 아벨리안일 경우, 약한 준격렬의 그래프 곱은 다시 약한 준격렬이 되며, 해당 반군 C*-대수는 핵심이다.
• 약한 준격렬 순서를 가진 군의 반직적 곱은 통제 가능한 사상 조건을 만족하고 핵심 대수를 가질 경우, 핵심적인 반군 C*-대수를 가질 수 있다.
• 고정점 대수가 코작용 하에서 핵심이면서 군 K가 아벨리안일 경우, 조건부 기대 E: C*(G,P) → span{wpw* : p ∈ P}는 충실하다. 이는 핵심성을 증명하는 데 핵심적인 단계이다.