[논문 리뷰] Null-controllability of linear hyperbolic systems in one dimensional space

Jean‐Michel Coron, Hoài-Minh Nguyên|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 27.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 31인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 경계 조건 하에서 시스템 행렬 $C$ 에 대한 일반성 가정 없이, 일차원에서의 선형 쌍곡계의 영제어 가능성을 최적 시간 $T_{\text{opt}}$ 보다 큰 모든 시간에 대해 확립한다. 백스텝 변환과 힐버트 유일성 방법을 사용하여, $k \geq m \geq 1$ 이고 경계 행렬 $B$ 가 뒤이어지는 부분행렬에 대해 질량 조건을 만족할 경우, 모든 $T > T_{\text{opt}}$ 에서 영제어 가능성이 성립함을 증명한다. 이는 이전 결과에서 요구하던 일반적인 $C$ 또는 $m = k$ 조건을 제거한 것이다. 결과는 날카롭고 정확하며 정확 제어 가능성으로 일반화된다.

ABSTRACT

This paper is devoted to the controllability of a general linear hyperbolic system in one space dimension using boundary controls on one side. Under precise and generic assumptions on the boundary conditions on the other side, we previously established the optimal time for the null and the exact controllability for this system for a generic source term. In this work, we prove the null-controllability for any time greater than the optimal time and for any source term. Similar results for the exact controllability are also discussed.

연구 동기 및 목표

• 일차원에서 경계 제어가 한쪽 끝에 있는 일반적인 선형 쌍곡계의 영제어 가능성을 확립하는 것.
• 이전 연구에서 최적 시간에 영제어 가능성을 확보하기 위해 요구되었던 행렬 $C$ 에 대한 일반성 가정을 제거하는 것.
• 경계 행렬 $B$ 에 대해 정확한 구조 조건을 만족할 경우, 임의의 소스 항이 존재하는 상황에서 $T > T_{\text{opt}}$ 에서의 영제어 가능성을 확장하는 것.
• 콤���크트성 및 특성 방법을 사용하여 $L^2$-설정에서 영제어 가능성과 정확 제어 가능성 결과를 통합하는 프레임워크를 제공하는 것.
• 이전 연구에서 $m = k$ 인 경우나 특정 피드백 구조가 필요로 하는 경우에 국한된 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 원래 시스템을 동역학이 분리되고 핵함수가 콤팩트한 목표 시스템으로 변환하기 위해 백스텝 변환을 적용하는 것.
• 힐버트 유일성 방법(HUM)을 사용하여 쌍대성과 관련된 쌍대 시스템을 풀어 제어를 유도하는 것.
• 특성 방법을 활용하여 특이점의 전파를 분석하고 쌍대 시스템의 해에 대한 감쇠 추정을 도출하는 것.
• 쌍대 시스템의 해 연산자에 대해 유한차원 범위 성질을 확립하여 콤팩트성 추론을 가능하게 하는 것.
• 모순과 스펙트럼 분석을 사용하여 해 연산자의 단사성을 증명함으로써 제어 가능성을 보장하는 것.
• 시간을 뒤집고 쌍대성을 적용하여 영제어 가능성을 정확 제어 가능성으로 확장하는 것. 이는 최적 시간 $T_{\text{opt}}$ 의 대칭성을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 행렬 $C$ 에 대한 일반성 가정 없이, 모든 $T > T_{\text{opt}}$ 에서 영제어 가능성이 달성될 수 있는가?
• RQ2 $k \geq m$ 인 경우, 경계 행렬 $B$ 에 어떤 구조 조건이 영제어 가능성을 보장하는가?
• RQ3 $m < k$ 인 경우, 최적 시간 $T_{\text{opt}}$ 는 영제어 가능성에 대해 날카로운가?
• RQ4 영제어 가능성이 $T > T_{\text{opt}}$ 에서 정확 제어 가능성으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 백스텝 방법과 특성 방법이 $L^2$-설정에서 제어 가능성을 보장하기 위해 어떻게 상호작용하는가?

주요 결과

• 행렬 $B$ 가 $\mathcal{B}$ 에 속할 경우, 즉 $1 \leq i \leq \min\{k, m-1\}$ 에 대해 각 $i \times i$ 뒤이어 부분행렬이 가역일 경우, 모든 $T > T_{\text{opt}}$ 에서 시스템은 영제어 가능하다.
• 모든 $C \in [L^\infty(0,1)]^{n \times n}$ 에 대해 결과가 성립하여, 이전 연구에서 요구되었던 $C$ 에 대한 일반성 가정이 제거된다.
• $m = k$ 인 경우, [15]에서의 정확 제어 가능성 결과와 동일한 조건에서 성립하지만, 본 논문은 이를 $m < k$ 로 확장한다.
• 최적 시간 $T_{\text{opt}}$ 는 날카롭다: $m = 2$, $k \geq 2$ 인 경우, [11]에서 보여지듯이 특정 선택에 대해 $T = T_{\text{opt}}$ 에서 시스템은 영제어 가능하지 않다.
• 동일한 $B$ 조건을 사용하여 시간 반전과 쌍대성을 활용함으로써, 모든 $T > T_{\text{opt}}$ 에서 정확 제어 가능성이 입증된다.
• 해의 유일성과 범위의 조밀성에 의해 해 연산자의 범위가 조밀해지는 것을 보장하기 위해, 콤팩트성 추론과 특성 방법을 사용하여, 경계 조건이 0인 쌍대 시스템의 유일한 해는 자명하다는 것을 증명한다.